Use o Critério da Raiz para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty(4 n^2-23 n^2+5)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que estudar se essa série converge ou diverge usando o Critério da Raiz. Esse critério é parte do estudo de séries infinitas em cálculo, e ele ajuda a determinar o comportamento de uma série olhando para a raiz enésima dos termos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série. Aqui, o termo geral é . O Critério da Raiz diz que a gente deve calcular o limite inferior quando tende ao infinito de .

Passo 3

Vamos calcular raiz[n](4n^2 - 23n^2 + 5)^n = 4n^2 - 23n^2 + 5 :
4 - 2n^23 + 5n^2
Agora, simplificamos essa expressão dividindo o numerador e o denominador por limn to infty 4 - 03 + 0 = 43 :
Quando tende ao infinito, e vão a zero, então o limite fica:

Passo 4

Agora, aplicamos o Critério da Raiz. Se o limite calculado for:
  • Menor que 1: a série converge.
  • Maior que 1: a série diverge.
  • Igual a 1: o critério não dá resposta.
No nosso caso, o limite é , que é maior que 1.

Resposta

A série diverge pelo Critério da Raiz, já que .

Exercícios relacionados

Considere o seguinte campo vetorial, f(x, y) = < 3 x^2 y, -2 x y^3 >. Encontre div f(x, y).
Decida se cada série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
sumn=1^infty (-1)^n+1n raizn
Calcule o produto nabla . (f x g): f(x, y, z) = < x, y, -z >
Use o Critério da Raiz para estudar a convergência das seguintes séries:
sumn=1^infty(raizn+4-raizn)^n