Decida se cada série abaixo é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente:
sumn=1^infty (-1)^n+1n raizn

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa série juntos! O enunciado nos pede para determinar se a série
sumn=1^infty (-1)^n+1n raizn
é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada termo da série representa. A série dada é uma série alternada porque o termo alterna os sinais dos termos positivos e negativos conforme aumenta. A parte pode ser simplificada para .

Passo 3

Para verificar a convergência absoluta, precisamos analisar a série dos valores absolutos dos termos, ou seja:
sumn=1^infty | (-1)^n+1n^3/2 | = sumn=1^infty 1n^3/2

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teste da Série p. Esse teste diz que a série
sumn=1^infty 1n^p
converge se e diverge se . No nosso caso, , que é maior que 1.

Passo 5

Como sumn=1^infty 1n^3/2 , a série
converge. Isso significa que a série original de valores absolutos converge.

Resposta

Portanto, a série
sumn=1^infty (-1)^n+1n raizn
é absolutamente convergente.

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