Mostre que o campo vetorial dado é conservativo e encontre uma função potencial: d f(x, y, z) = <y z, x z, x y>

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que temos para resolver pede para mostrar que o campo vetorial é conservativo e, se for o caso, encontrar uma função potencial para ele.
Isso está ligado ao conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se o rotacional do campo vetorial é zero (o que indica que ele é conservativo) e, em seguida, encontrar uma função cuja derivada seja o campo original.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo calculando o rotacional de f. O rotacional de um campo é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Substituindo na fórmula do rotacional:
Como o rotacional é zero, concluímos que o campo vetorial é conservativo.

Passo 3

Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar uma função potencial tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar phi.

Passo 4

Primeiro, integramos em relação a x:
Aqui, é uma função que depende de y e z, pois a constante de integração pode depender dessas variáveis.

Passo 5

Agora, usamos a segunda equação:
Isso implica que:
Portanto, g não depende de y, ou seja, , onde é uma função de z apenas.

Passo 6

Finalmente, usamos a terceira equação:
Isso implica que:
Portanto, é uma constante, que podemos chamar de C.

Resposta

A função potencial é:

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