Mostre que o campo vetorial dado é conservativo e encontre uma função potencial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que temos para resolver pede para mostrar que o campo vetorial
é conservativo e, se for o caso, encontrar uma função potencial para ele.
Isso está ligado ao conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais. Para resolver isso, vamos precisar verificar se o rotacional do campo vetorial é zero (o que indica que ele é conservativo) e, em seguida, encontrar uma função cuja derivada seja o campo original.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial é conservativo calculando o rotacional de
. O rotacional de um campo
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
Substituindo na fórmula do rotacional:
Como o rotacional é zero, concluímos que o campo vetorial é conservativo.
Passo 3
Agora que sabemos que o campo é conservativo, vamos encontrar uma função potencial
tal que:
Isso significa que:
Vamos integrar cada uma dessas equações para encontrar
.
Passo 4
Primeiro, integramos em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende de
e
, pois a constante de integração pode depender dessas variáveis.
Passo 5
Agora, usamos a segunda equação:
Isso implica que:
Portanto,
não depende de
, ou seja,
, onde
é uma função de
apenas.
Passo 6
Finalmente, usamos a terceira equação:
Isso implica que:
Portanto,
é uma constante, que podemos chamar de
.
Resposta
A função potencial é:
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a)
a)
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Considere o seguinte campo vetorial,
. Encontre div
.