Considere a seguinte distribuição de frequências.
Xi -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
fi 60 120 180 200 240 190 160 90 30
Calcule a média, a moda, a mediana, a variância e o desvio padrão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de estatística juntos! A gente tem uma tabela de distribuição de frequência com valores de X e suas respectivas frequências (f). Nosso objetivo é calcular a média, a moda, a mediana, a variância e o desvio padrão dessa distribuição. Para isso, vamos precisar usar fórmulas básicas de estatística e entender um pouquinho sobre cada conceito. Vamos lá!

Passo 2

Calculando a Média
A média é basicamente a “nota média” dos dados, ou seja, a soma de todos os valores multiplicados por sua frequência, dividida pelo total de observações.
Primeiro, vamos multiplicar cada valor de X pela sua frequência (f):
(-4) times 60 &= -240 (-3) times 120 &= -360 (-2) times 180 &= -360 (-1) times 200 &= -200 0 times 240 &= 0 1 times 190 &= 190 2 times 160 &= 320 3 times 90 &= 270 4 times 30 &= 120
Agora, somamos todos esses resultados:
-240 - 360 - 360 - 200 + 0 + 190 + 320 + 270 + 120 = -280
Em seguida, somamos todas as frequências para encontrar o total de observações:
60 + 120 + 180 + 200 + 240 + 190 + 160 + 90 + 30 = 1350
Finalmente, calculamos a média:
Média = -2801350 approx -0,207 é

Passo 3

Identificando a Moda
A moda é o valor que mais aparece na distribuição. Pela tabela, observamos as frequências:
fi: 60, 120, 180, 200, 240, 190, 160, 90, 30
A frequência mais alta é 240, que corresponde ao valor de X igual a 0. Então, a moda é 0.

Passo 4

Encontrando a Mediana
A mediana é o valor que está no meio dos dados quando eles estão ordenados. Para uma distribuição de frequência, precisamos achar a posição central.
Primeiro, encontramos o total de observações, que já calculamos: 1350. A posição central é:
1350 + 12 = 675,5
Agora, vamos acumular as frequências até alcançar essa posição:
-4 &: 60 -3 &: 60 + 120 = 180 -2 &: 180 + 180 = 360 -1 &: 360 + 200 = 560 0 &: 560 + 240 = 800
A posição 675,5 está dentro da classe com X = 0. Portanto, a mediana é 0.

Passo 5

Calculando a Variância
A variância mede o quanto os valores estão espalhados em relação à média. Para calcular, usamos a fórmula:
Variância = sum fi (Xi - Média)^2sum fi âé
Primeiro, calculamos (-4 - (-0,207))^2 &= (-3,793)^2 approx 14,38 (-3 - (-0,207))^2 &= (-2,793)^2 approx 7,80 (-2 - (-0,207))^2 &= (-1,793)^2 approx 3,21 (-1 - (-0,207))^2 &= (-0,793)^2 approx 0,63 (0 - (-0,207))^2 &= (0,207)^2 approx 0,04 (1 - (-0,207))^2 &= (1,207)^2 approx 1,45 (2 - (-0,207))^2 &= (2,207)^2 approx 4,87 (3 - (-0,207))^2 &= (3,207)^2 approx 10,27 (4 - (-0,207))^2 &= (4,207)^2 approx 17,72 é para cada X:
14,38 times 60 &approx 863 7,80 times 120 &approx 936 3,21 times 180 &approx 578 0,63 times 200 &approx 126 0,04 times 240 &approx 10 1,45 times 190 &approx 276 4,87 times 160 &approx 780 10,27 times 90 &approx 924 17,72 times 30 &approx 531
Agora, multiplicamos cada resultado pela frequência correspondente:
863 + 936 + 578 + 126 + 10 + 276 + 780 + 924 + 531 = 5.144
Somando todos esses valores:
Variância = 5.1441350 approx 3,81
Finalmente, calculamos a variância:
â

Passo 6

Determinando o Desvio Padrão
O desvio padrão é simplesmente a raiz quadrada da variância. Ele nos dá uma ideia de quão dispersos os dados estão em relação à média.
Desvio Padrão = raiz3,81 approx 1,95 ã

Resposta

  • Média: aproximadamente -0,207
  • Moda: 0
  • Mediana: 0
  • Variância: aproximadamente 3,81
  • Desvio Padrão: aproximadamente 1,95

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