Considere a seguinte equação de uma cônica em
coordenadas polares: r=6
2+3 cos theta
Identifique a cônica e determine uma reta diretriz da mesma.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma equação de uma cônica em coordenadas polares:
r = 62 + 3 cos theta
Aqui, estamos lidando com cônicas na matéria de geometria analítica. Para resolver esse problema, precisamos identificar que tipo de cônica estamos lidando (círculo, elipse, parábola ou hipérbole) e encontrar uma reta diretriz associada a ela. Vamos precisar entender como as cônicas são representadas em coordenadas polares e usar algumas fórmulas para determinar o tipo e a diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a forma geral da equação de uma cônica em coordenadas polares:
r = ed1 + e cos theta
Onde:
  • r = 62 + 3 cos theta é a excentricidade da cônica.
  • r = 621 + 32 cos theta = 31 + 1.5 cos theta é a distância da origem (foco) até a diretriz.
Comparando com a nossa equação:
e = 1.5 e ed = 3
Podemos reescrever a equação da seguinte forma:
Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos analisar a excentricidade para identificar o tipo de cônica:
  • : Círculo
  • : Elipse
  • : Parábola
  • : Hipérbole
No nosso caso, , que é maior que 1. Portanto, a cônica é uma hipérbole.

Passo 4

Com a excentricidade ed = 3 1.5 cdot d = 3 d = 31.5 d = 2 e , podemos encontrar a distância da origem até a diretriz:
Portanto, a distância até a diretriz é 2 unidades.

Passo 5

Sabendo que a excentricidade é maior que 1, e que a diretriz está relacionada à orientação da cônica, precisamos determinar a equação da diretriz.
A diretriz para a equação da hipérbole dada é uma reta vertical ou horizontal, dependendo do termo x = ede = d (quando a diretriz está ao lado positivo do eixo polar) ou x = 2 na equação original. Como temos , a diretriz será uma reta vertical.
A equação da diretriz é dada por:
á
Então, substituindo :

Resposta

A cônica é uma hipérbole e uma das suas retas diretriz é a reta vertical .

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