Considere a seguinte equação de uma cônica em
coordenadas polares:
Identifique a cônica e determine uma reta diretriz da mesma.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma equação de uma cônica em coordenadas polares:
Aqui, estamos lidando com cônicas na matéria de geometria analítica. Para resolver esse problema, precisamos identificar que tipo de cônica estamos lidando (círculo, elipse, parábola ou hipérbole) e encontrar uma reta diretriz associada a ela. Vamos precisar entender como as cônicas são representadas em coordenadas polares e usar algumas fórmulas para determinar o tipo e a diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a forma geral da equação de uma cônica em coordenadas polares:
Onde:
é a excentricidade da cônica.
é a distância da origem (foco) até a diretriz.
Comparando com a nossa equação:
Podemos reescrever a equação da seguinte forma:
Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos analisar a excentricidade para identificar o tipo de cônica:
: Círculo
: Elipse
: Parábola
: Hipérbole
No nosso caso, , que é maior que 1. Portanto, a cônica é uma hipérbole.
Passo 4
Com a excentricidade e , podemos encontrar a distância da origem até a diretriz:
Portanto, a distância até a diretriz é 2 unidades.
Passo 5
Sabendo que a excentricidade é maior que 1, e que a diretriz está relacionada à orientação da cônica, precisamos determinar a equação da diretriz.
A diretriz para a equação da hipérbole dada é uma reta vertical ou horizontal, dependendo do termo ou na equação original. Como temos , a diretriz será uma reta vertical.
A equação da diretriz é dada por:
Então, substituindo :
Resposta
A cônica é uma hipérbole e uma das suas retas diretriz é a reta vertical .