Prove se vetores ( u, v, w) são LI então vetores (2 u+ 3 v, 2 u+3 w,-v+w) são DL.

Passo 1

Vamos resolver um problema de Álgebra Linear. A questão nos pede para provar que, se os vetores (u, v, w) são Linearmente Independentes (LI), então os vetores (2 u + 3 v, 2 u + 3 w, -v + w) são Linearmente Dependentes (DL). Para isso, vamos usar conceitos de independência e dependência linear e manipular equações envolvendo esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que os vetores (u, v, w) são Linearmente Independentes. Isso quer dizer que a única solução para a equação au + bv + cw = 0 é a = b = c = 0.

Passo 3

Agora, queremos mostrar que os vetores (2 u + 3 v, 2 u + 3 w, -v + w) são Linearmente Dependentes. Para isso, precisamos encontrar escalares (x, y, z), não todos zero, tais que:
x(2 u + 3 v) + y(2 u + 3 w) + z(-v + w) = 0

Passo 4

Vamos distribuir os escalares dentro dos parênteses:
2xu + 3xv + 2yu + 3yw - zv + zw = 0

Passo 5

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(2x + 2y)u + (3x - z)v + (3y + z)w = 0

Passo 6

Como (u, v, w) são Linearmente Independentes, os coeficientes de cada vetor devem ser iguais a zero:
2x + 2y = 0 3x - z = 0 3y + z = 0

Passo 7

Vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação, temos z = 3x. Substituindo na terceira equação:
3y + 3x = 0 implies y = -x
E da primeira equação:
2x + 2(-x) = 0 implies 0 = 0

Passo 8

Isso significa que podemos escolher x = 1, então y = -1 e z = 3. Como encontramos uma solução não trivial (x, y, z) = (1, -1, 3), isso prova que os vetores são Linearmente Dependentes.

Resposta

Os vetores (2 u + 3 v, 2 u + 3 w, -v + w) são Linearmente Dependentes.

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