Vamos resolver um problema de Álgebra Linear. A questão nos pede para provar que, se os vetores são Linearmente Independentes (LI), então os vetores são Linearmente Dependentes (DL). Para isso, vamos usar conceitos de independência e dependência linear e manipular equações envolvendo esses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que os vetores são Linearmente Independentes. Isso quer dizer que a única solução para a equação é .
Passo 3
Agora, queremos mostrar que os vetores são Linearmente Dependentes. Para isso, precisamos encontrar escalares , não todos zero, tais que:
Passo 4
Vamos distribuir os escalares dentro dos parênteses:
Passo 5
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 6
Como são Linearmente Independentes, os coeficientes de cada vetor devem ser iguais a zero:
Passo 7
Vamos resolver esse sistema de equações. Da segunda equação, temos z = 3x. Substituindo na terceira equação:
3y + 3x = 0 implies y = -x
E da primeira equação:
2x + 2(-x) = 0 implies 0 = 0
Passo 8
Isso significa que podemos escolher x = 1, então y = -1 e z = 3. Como encontramos uma solução não trivial (x, y, z) = (1, -1, 3), isso prova que os vetores são Linearmente Dependentes.
Resposta
Os vetores (2 u + 3 v, 2 u + 3 w, -v + w) são Linearmente Dependentes.