Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial (1.30) não é exata e que é um fator integrante da mesma.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial e pede para mostrarmos duas coisas:
  1. Que a equação não é exata.
  2. Que é um fator integrante dessa equação.
Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e o que são fatores integrantes. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma mais clara:
Podemos reorganizar isso para ficar na forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem:
Ou ainda:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre equações diferenciais exatas. Uma equação é exata se ela pode ser escrita como a derivada total de alguma função . Para isso, deve satisfazer a condição:
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando :
Calculando :

Passo 5

Agora, comparamos as duas derivadas parciais:
Claramente, , então a condição para exatidão não é satisfeita. Portanto, a equação não é exata.

Passo 6

Como a equação não é exata, podemos procurar um fator integrante que torne a equação exata quando multiplicada por ele. O fator integrante proposto é:
Vamos multiplicar a equação original por e verificar se a nova equação é exata.

Passo 7

Multiplicando cada termo por :
Agora, a nova equação fica:

Passo 8

Vamos verificar se essa nova equação é exata. Primeiro, identificamos os novos e :
Calculamos as derivadas parciais:

Passo 9

Comparamos as derivadas parciais:
Como , a nova equação é exata. Portanto, é realmente um fator integrante.

Resposta

A equação diferencial dada não é exata, e o fator integrante torna a equação exata quando aplicado.

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