Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial (1.30) não é exata e que
é um fator integrante da mesma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá uma equação diferencial e pede para mostrarmos duas coisas:
- Que a equação não é exata.
- Que
é um fator integrante dessa equação.
Para isso, vamos precisar entender o que é uma equação diferencial exata e o que são fatores integrantes. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial de forma mais clara:
Podemos reorganizar isso para ficar na forma padrão de uma equação diferencial de primeira ordem:
Ou ainda:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre equações diferenciais exatas. Uma equação
é exata se ela pode ser escrita como a derivada total de alguma função
. Para isso, deve satisfazer a condição:
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando
:
Calculando
:
Passo 5
Agora, comparamos as duas derivadas parciais:
Claramente,
, então a condição para exatidão não é satisfeita. Portanto, a equação não é exata.
Passo 6
Como a equação não é exata, podemos procurar um fator integrante
que torne a equação exata quando multiplicada por ele. O fator integrante proposto é:
Vamos multiplicar a equação original por
e verificar se a nova equação é exata.
Passo 7
Multiplicando cada termo por
:
Agora, a nova equação fica:
Passo 8
Vamos verificar se essa nova equação é exata. Primeiro, identificamos os novos
e
:
Calculamos as derivadas parciais:
Passo 9
Comparamos as derivadas parciais:
Como
, a nova equação é exata. Portanto,
é realmente um fator integrante.
Resposta
A equação diferencial dada não é exata, e o fator integrante
torna a equação exata quando aplicado.
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Determine
e
.