(a) Encontre a solução geral da equação e a solução do problema de valor inicial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial com uma condição inicial. O objetivo aqui é encontrar a solução geral da equação e também resolver o problema com a condição inicial fornecida. Vamos usar conceitos de Equações Diferenciais Ordinárias para isso e precisar do método de substituição para equações homogêneas. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que temos:
Essa é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Nosso objetivo é encontrar uma função
que satisfaça essa equação.
Passo 3
Percebemos que a equação é homogênea, porque o grau no numerador e no denominador é o mesmo. Isso significa que podemos usar uma substituição para simplificar. Geralmente, usamos
. Vamos fazer isso!
Definindo:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
. Usando a regra do produto:
Vamos substituir
e
na equação original.
Passo 5
Substituindo na equação original:
Simplificando, temos:
Passo 6
Vamos reorganizar para isolar
:
Simplificando mais:
Passo 7
Agora, vamos separar as variáveis
e
:
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.
Passo 8
Vamos integrar o lado esquerdo em relação a
e o lado direito em relação a
:
Para resolver a integral do lado esquerdo, vamos fazer uma divisão polinomial ou completar o quadrado no denominador.
Passo 9
Vamos observar que o denominador
pode ser completado ao quadrado:
Isso facilita a integração do lado esquerdo.
Passo 10
Vamos reescrever a integral:
Podemos separar o numerador para facilitar:
Perceba que o numerador é a derivada do denominador multiplicada por
:
Passo 11
Então, a integral fica:
E o lado direito:
Passo 12
Juntando as duas integrais:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 13
Vamos resolver para
. Primeiro, multiplicamos por
:
Onde
.
Passo 14
Podemos reescrever isso como:
Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde
é uma nova constante.
Passo 15
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando todos os termos por
:
Isso nos dá a solução geral da equação diferencial.
Passo 16
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar a solução específica.
Substituindo
e
na equação geral:
Resposta
A solução geral da equação é
. Aplicando a condição inicial
, a solução específica é:
Exercícios relacionados
Nos exercícios 1-22, encontre
e
.
Resolva as equações:
(b) .
(b)
Para minimizar o custo fixo médio, a empresa deverá optar por um nível de produção alto ou baixo? Explique.
Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial (1.30) não é exata e que
é um fator integrante da mesma.