(a) Encontre a solução geral da equação e a solução do problema de valor inicial

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial com uma condição inicial. O objetivo aqui é encontrar a solução geral da equação e também resolver o problema com a condição inicial fornecida. Vamos usar conceitos de Equações Diferenciais Ordinárias para isso e precisar do método de substituição para equações homogêneas. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na equação que temos:
Essa é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. Nosso objetivo é encontrar uma função que satisfaça essa equação.

Passo 3

Percebemos que a equação é homogênea, porque o grau no numerador e no denominador é o mesmo. Isso significa que podemos usar uma substituição para simplificar. Geralmente, usamos . Vamos fazer isso!
Definindo:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar . Usando a regra do produto:
Vamos substituir e na equação original.

Passo 5

Substituindo na equação original:
Simplificando, temos:

Passo 6

Vamos reorganizar para isolar :
Simplificando mais:

Passo 7

Agora, vamos separar as variáveis e :
Isso nos permite integrar ambos os lados separadamente.

Passo 8

Vamos integrar o lado esquerdo em relação a e o lado direito em relação a :
Para resolver a integral do lado esquerdo, vamos fazer uma divisão polinomial ou completar o quadrado no denominador.

Passo 9

Vamos observar que o denominador pode ser completado ao quadrado:
Isso facilita a integração do lado esquerdo.

Passo 10

Vamos reescrever a integral:
Podemos separar o numerador para facilitar:
Perceba que o numerador é a derivada do denominador multiplicada por :

Passo 11

Então, a integral fica:
E o lado direito:

Passo 12

Juntando as duas integrais:
Onde é uma constante de integração.

Passo 13

Vamos resolver para . Primeiro, multiplicamos por :
Onde .

Passo 14

Podemos reescrever isso como:
Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma nova constante.

Passo 15

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando todos os termos por :
Isso nos dá a solução geral da equação diferencial.

Passo 16

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.
Substituindo e na equação geral:

Resposta

A solução geral da equação é . Aplicando a condição inicial , a solução específica é:

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