Determine o limite reescrevendo a fração: lim (x, y) (1,1) x^2-y^2x-y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar o limite da função x^2-y^2x-y quando (x, y) se aproxima de (1,1). Estamos lidando com cálculo de limites em duas variáveis, e para resolver isso, vamos precisar simplificar a fração para facilitar a substituição dos valores.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador da fração: x^2 - y^2. Esse é um caso clássico de diferença de quadrados, que a gente pode fatorar. A diferença de quadrados é uma expressão que pode ser escrita como (a^2 - b^2) = (a - b)(a + b). Aplicando isso aqui:
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)

Passo 3

Agora, substituímos essa fatoração na nossa fração original:
x^2-y^2x-y = (x - y)(x + y)x - y

Passo 4

Vemos que (x - y) está no numerador e no denominador, então podemos simplificar esses termos (desde que x neq y, o que é válido perto de (1,1)):
(x - y)(x + y)x - y = x + y

Passo 5

Agora que simplificamos a expressão para x + y, podemos calcular o limite substituindo diretamente (x, y) por (1,1):
lim (x, y) (1,1) (x + y) = 1 + 1 = 2

Resposta

O limite �� igual a 2.

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