Determine partial z / partial x e partial z / partial y.
x e^y+y z+z e^x=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma equação envolvendo as variáveis , e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a ( ) e em relação a ( ). Para isso, vamos usar o Cálculo Diferencial, mais especificamente a técnica de diferenciação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada:
x e^y + y z + z e^x = 0
Queremos encontrar como muda em relação a e a , mantendo essa equação sempre igual a zero. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos começar encontrando e^y + y partial zpartial x + e^x partial zpartial x + z e^x = 0 . Vamos derivar cada termo da equação em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
    • Aqui, é tratado como constante em relação a , então a derivada é .
  2. Derivada de em relação a :
    • Como é constante, aplicamos a regra do produto: .
  3. Derivada de em relação a :
    • Aqui, usamos também a regra do produto: .
A derivada da equação completa em relação a fica:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos que contêm (y + e^x) partial zpartial x = - (e^y + z e^x) :
partial zpartial x = - e^y + z e^xy + e^x
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Agora, vamos encontrar x e^y + z + y partial zpartial y + e^x partial zpartial y = 0 . Derivamos novamente a equação original, mas desta vez em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
    • Aqui, é constante, então a derivada é .
  2. Derivada de em relação a :
    • Usando a regra do produto: .
  3. Derivada de em relação a :
    • Aqui, é constante em relação a , então a derivada é .
A derivada da equação completa em relação a fica:

Passo 6

Vamos agrupar os termos que contêm (y + e^x) partial zpartial y = - (x e^y + z) :
partial zpartial y = - x e^y + zy + e^x
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = - e^y + z e^xy + e^x e partial zpartial y = - x e^y + zy + e^x

Exercícios relacionados