Determine e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma equação envolvendo as variáveis , e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a ( ) e em relação a ( ). Para isso, vamos usar o Cálculo Diferencial, mais especificamente a técnica de diferenciação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação dada:
Queremos encontrar como muda em relação a e a , mantendo essa equação sempre igual a zero. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a e depois em relação a .

Passo 3

Vamos começar encontrando . Vamos derivar cada termo da equação em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
    • Aqui, é tratado como constante em relação a , então a derivada é .
  2. Derivada de em relação a :
    • Como é constante, aplicamos a regra do produto: .
  3. Derivada de em relação a :
    • Aqui, usamos também a regra do produto: .
A derivada da equação completa em relação a fica:

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos que contêm :
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Agora, vamos encontrar . Derivamos novamente a equação original, mas desta vez em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
    • Aqui, é constante, então a derivada é .
  2. Derivada de em relação a :
    • Usando a regra do produto: .
  3. Derivada de em relação a :
    • Aqui, é constante em relação a , então a derivada é .
A derivada da equação completa em relação a fica:

Passo 6

Vamos agrupar os termos que contêm :
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Resposta

As derivadas parciais são:

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Determine o limite reescrevendo a fração:
Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial (1.30) não é exata e que é um fator integrante da mesma.
Use a Regra da Cadeia para determinar ou .
Use o teorema do confronto para calcular os limites abaixo: