Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui é uma equação envolvendo as variáveis
,
e
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
(
) e em relação a
(
). Para isso, vamos usar o Cálculo Diferencial, mais especificamente a técnica de diferenciação implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação dada:
Queremos encontrar como
muda em relação a
e a
, mantendo essa equação sempre igual a zero. Para isso, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Vamos começar encontrando
. Vamos derivar cada termo da equação em relação a
:
-
Derivada de
em relação a : - Aqui,
é tratado como constante em relação a , então a derivada é .
- Aqui,
-
Derivada de
em relação a : - Como
é constante, aplicamos a regra do produto: .
- Como
-
Derivada de
em relação a : - Aqui, usamos também a regra do produto:
.
- Aqui, usamos também a regra do produto:
A derivada da equação completa em relação a
fica:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos que contêm
:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar
. Derivamos novamente a equação original, mas desta vez em relação a
:
-
Derivada de
em relação a : - Aqui,
é constante, então a derivada é .
- Aqui,
-
Derivada de
em relação a : - Usando a regra do produto:
.
- Usando a regra do produto:
-
Derivada de
em relação a : - Aqui,
é constante em relação a , então a derivada é .
- Aqui,
A derivada da equação completa em relação a
fica:
Passo 6
Vamos agrupar os termos que contêm
:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Determine o limite reescrevendo a fração:
Considere a seguinte equação diferencial:
(a) Mostre que a equação diferencial (1.30) não é exata e que
é um fator integrante da mesma.
Use a Regra da Cadeia para determinar
ou
.
Use o teorema do confronto para calcular os limites abaixo: