Considere a seguinte função de distribuição acumulada:
F(x)=lr 0, & se x <= 1 k(x-1)^2, & se 13
a) obtenha a função densidade f(x);

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de distribuição acumulada $ F(x) $ definida de forma diferente em três intervalos: quando $ x $ é menor ou igual a 1, entre 1 e 3, e maior que 3. O conteúdo aqui é sobre funções de distribuição acumulada e densidade de probabilidade. Pra resolver essa parte do exercício, a gente vai precisar entender que a função densidade $ f(x) $ é a derivada da função de distribuição acumulada $ F(x) $.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a função densidade $ f(x) $. Ela basicamente nos diz a probabilidade de uma variável aleatória assumir um valor específico. Matemáticamente, $ f(x) $ é a derivada de $ F(x) $. Então, nossa missão é derivar $ F(x) $ nos intervalos onde ela é diferenciável.

Passo 3

Olha só a definição de $ F(x) $:
F(x)
Vamos derivar cada parte:
  1. Para $ x \leq 1 $: $ F(x) = 0 $. A derivada de uma constante é zero, então $ f(x) = 0 $.
  2. Para $ 1 < x \leq 3 $: $ F(x) = k(x-1)^2 $. Derivando em relação a $ x $:
F(x)=lr 0, & se x <= 1 k(x-1)^2, & se 1 < x <= 3 1, & se x > 3
  1. Para $ x > 3 $: $ F(x) = 1 $. Novamente, a derivada de uma constante é zero, então $ f(x) = 0 $.

Passo 4

Agora, precisamos achar o valor de $ k $ para garantir que $ F(x) $ seja uma função de distribuição acumulada válida. Para isso, $ F(x) $ deve ser contínua e $ F(\infty) = 1 $.
No ponto $ x = 3 $:
k
Como $ F(3) $ deve ser igual a 1:
F(x)

Resposta

Com $ k = \frac{1}{4} $, a função densidade $ f(x) $ fica:
k = 14

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