Vinte por cento dos domicílios norte-americanos possuem três ou mais veículos motorizados. Você seleciona 12 domicílios ao acaso. Qual a probabilidade de que:
X: N^o de domicílios com mais de 2 veículos, de um total de 12 domicílios.
P(no máximo cinco domicílios selecionados possuir ao menos três veículos)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que 20% dos domicílios norte-americanos têm três ou mais veículos motorizados. Selecionamos 12 domicílios ao acaso, e queremos saber a probabilidade de que, no máximo, cinco desses domicílios possuam pelo menos três veículos.
Para resolver isso, vamos usar o modelo binomial, que é apropriado quando lidamos com eventos que têm apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso) e são independentes entre si. Aqui, “sucesso” será um domicílio ter três ou mais veículos, com probabilidade $ p = 0,2 $, e “fracasso” ser ter menos de três veículos, com probabilidade $ q = 1 - p = 0,8 $. Vamos precisar calcular a probabilidade de obter até cinco sucessos em 12 tentativas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da distribuição binomial:
P(X = k) = binomnk p^k (1 - p)^n - k
Onde:
  • $ n $ é o número total de tentativas (neste caso, 12 domicílios),
  • $ k $ é o número de sucessos (domicílios com três ou mais veículos),
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (0,2),
  • $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula o número de maneiras de escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.

Passo 3

Queremos a probabilidade de que no máximo cinco domicílios tenham três ou mais veículos. Isso significa que precisamos calcular:
P(X <= 5) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5)
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da distribuição binomial.

Passo 4

Vamos calcular cada termo individualmente:
  1. Para $ k = 0 $:
k = 0
  1. Para $ k = 1 $:
P(X = 0) = binom120 (0,2)^0 (0,8)^12 = 1 times 1 times 0,8^12 approx 0,0687
  1. Para $ k = 2 $:
k = 1
  1. Para $ k = 3 $:
P(X = 1) = binom121 (0,2)^1 (0,8)^11 = 12 times 0,2 times 0,8^11 approx 0,2061
  1. Para $ k = 4 $:
k = 2
  1. Para $ k = 5 $:
P(X = 2) = binom122 (0,2)^2 (0,8)^10 = 66 times 0,04 times 0,8^10 approx 0,2835

Passo 5

Agora, somamos todas essas probabilidades para obter $ P(X \leq 5) $:
P(X <= 5)

Resposta

A probabilidade de que no máximo cinco dos 12 domicílios selecionados possuam pelo menos três veículos é aproximadamente 97,41%.

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