Vinte por cento dos domicílios norte-americanos possuem três ou mais veículos motorizados. Você seleciona 12 domicílios ao acaso. Qual a probabilidade de que:
X:
de domicílios com mais de 2 veículos, de um total de 12 domicílios.
P(no máximo cinco domicílios selecionados possuir ao menos três veículos)
X:
P(no máximo cinco domicílios selecionados possuir ao menos três veículos)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que 20% dos domicílios norte-americanos têm três ou mais veículos motorizados. Selecionamos 12 domicílios ao acaso, e queremos saber a probabilidade de que, no máximo, cinco desses domicílios possuam pelo menos três veículos.
Para resolver isso, vamos usar o modelo binomial, que é apropriado quando lidamos com eventos que têm apenas dois resultados possíveis (sucesso ou fracasso) e são independentes entre si. Aqui, “sucesso” será um domicílio ter três ou mais veículos, com probabilidade $ p = 0,2 $, e “fracasso” ser ter menos de três veículos, com probabilidade $ q = 1 - p = 0,8 $. Vamos precisar calcular a probabilidade de obter até cinco sucessos em 12 tentativas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula da distribuição binomial:
Onde:
- $ n $ é o número total de tentativas (neste caso, 12 domicílios),
- $ k $ é o número de sucessos (domicílios com três ou mais veículos),
- $ p $ é a probabilidade de sucesso em uma única tentativa (0,2),
- $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula o número de maneiras de escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.
Passo 3
Queremos a probabilidade de que no máximo cinco domicílios tenham três ou mais veículos. Isso significa que precisamos calcular:
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da distribuição binomial.
Passo 4
Vamos calcular cada termo individualmente:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
- Para $ k = 3 $:
- Para $ k = 4 $:
- Para $ k = 5 $:
Passo 5
Agora, somamos todas essas probabilidades para obter $ P(X \leq 5) $:
Resposta
A probabilidade de que no máximo cinco dos 12 domicílios selecionados possuam pelo menos três veículos é aproximadamente 97,41%.