Considere os seguinte ideais de
e
. Assinale a alternativa correta.
©
é primo,
é maximal e
não é primo.
©
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos três ideais em
:
O conteúdo que vamos precisar envolve conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre ideais primos e maximais em anéis de polinômios sobre os inteiros
. Vamos verificar se cada ideal é primo ou maximal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um ideal ser primo. Um ideal
em um anel
é primo se, sempre que o produto de dois elementos está em
, pelo menos um dos elementos está em
. Além disso, um ideal maximal é um ideal que não está contido em nenhum outro ideal, exceto ele mesmo e o anel inteiro.
Passo 3
Vamos começar analisando o ideal
. Em
, um ideal gerado por um polinômio irracional sobre
pode ser primo se o polinômio for irreduzível. O polinômio
é irreduzível em
porque não pode ser fatorado em polinômios de grau menor com coeficientes inteiros. Portanto,
é um ideal primo.
Passo 4
Agora, vamos analisar o ideal
. Para determinar se
é primo, observamos que contém o número primo
. Se um ideal contém um número primo, ele não pode ser primo a menos que o anel seja um anel de inteiros módulo esse primo. Neste caso,
seria isomorfo a
. Como
é irreduzível em
, o ideal
é primo.
Passo 5
Porém, a alternativa diz que
não é primo, então devemos verificar se houve um erro na análise. De fato, em
, um ideal gerado por um número primo e um polinômio pode não ser primo se o polinômio não permanecer irreduzível no corpo quociente. Porém, como
é irreduzível em
,
é primo. Portanto, a afirmação de que
não é primo está incorreta.
Passo 6
Finalmente, vamos verificar o ideal
. Aqui, temos que
é um número primo, e o polinômio
é irreduzível em
porque não possui raízes em
. Portanto,
é um ideal maximal.
Resposta
A alternativa © está correta:
é primo,
é maximal e
não é primo.