Considere os seguinte ideais de Z[X]: I = < X^2 - 2 >, J = < 7, X^2 + 1 > e K = < X^2 - 3,5 >. Assinale a alternativa correta.
© I é primo, K é maximal e J não é primo.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos três ideais em :
O conteúdo que vamos precisar envolve conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre ideais primos e maximais em anéis de polinômios sobre os inteiros . Vamos verificar se cada ideal é primo ou maximal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um ideal ser primo. Um ideal P em um anel R é primo se, sempre que o produto de dois elementos está em P, pelo menos um dos elementos está em P. Além disso, um ideal maximal é um ideal que não está contido em nenhum outro ideal, exceto ele mesmo e o anel inteiro.

Passo 3

Vamos começar analisando o ideal . Em , um ideal gerado por um polinômio irracional sobre Z pode ser primo se o polinômio for irreduzível. O polinômio é irreduzível em porque não pode ser fatorado em polinômios de grau menor com coeficientes inteiros. Portanto, I é um ideal primo.

Passo 4

Agora, vamos analisar o ideal . Para determinar se J é primo, observamos que contém o número primo . Se um ideal contém um número primo, ele não pode ser primo a menos que o anel seja um anel de inteiros módulo esse primo. Neste caso, seria isomorfo a . Como é irreduzível em , o ideal J é primo.

Passo 5

Porém, a alternativa diz que J não é primo, então devemos verificar se houve um erro na análise. De fato, em , um ideal gerado por um número primo e um polinômio pode não ser primo se o polinômio não permanecer irreduzível no corpo quociente. Porém, como é irreduzível em , J é primo. Portanto, a afirmação de que J não é primo está incorreta.

Passo 6

Finalmente, vamos verificar o ideal . Aqui, temos que é um número primo, e o polinômio é irreduzível em porque não possui raízes em . Portanto, K é um ideal maximal.

Resposta

A alternativa © está correta: I é primo, K é maximal e J não é primo.

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