Seja
o grupo simétrico em
letras. Assinale a alternativa incorreta.
(e) Para
é o único subgrupo normal não trivial de
.
(e) Para
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com o grupo simétrico
, que é o conjunto de todas as permutações de
elementos. A questão apresenta várias alternativas e queremos identificar qual delas está incorreta. Especificamente, a alternativa (e) afirma: "Para
,
é o único subgrupo normal não trivial de
". Para resolver isso, precisamos entender o que são subgrupos normais e analisar a relação entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um subgrupo normal. Em teoria de grupos, um subgrupo
de um grupo
é normal se ele é invariante sob conjugação, ou seja, para todo elemento
em
e todo
em
, o elemento
também está em
. Subgrupos normais são importantes porque permitem que a estrutura do grupo seja dividida de maneira mais fácil.
Passo 3
Agora, vamos focar no grupo simétrico
e no grupo alternado
. O grupo alternado
é formado por todas as permutações pares de
. Sabemos que
é um subgrupo normal de
porque ele é o núcleo do homomorfismo de assinatura que mapeia cada permutação para
ou
dependendo de ser par ou ímpar.
Passo 4
A próxima etapa é analisar se existem outros subgrupos normais não triviais em
além de
para
. Para isso, lembramos que, para
, os grupos alternados
são simples, ou seja, não possuem subgrupos normais próprios. Além disso,
não possui outros subgrupos normais além do trivial,
, e ele próprio.
Passo 5
Portanto, a afirmação de que "Para
,
é o único subgrupo normal não trivial de
" está correta. Não existem outros subgrupos normais não triviais além de
em
quando
.
Resposta
A alternativa (e) está correta.