Seja Sn o grupo simétrico em n letras. Assinale a alternativa incorreta.
(e) Para n ≥ 5, A_n é o único subgrupo normal não trivial de Sn.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Estamos trabalhando com o grupo simétrico , que é o conjunto de todas as permutações de elementos. A questão apresenta várias alternativas e queremos identificar qual delas está incorreta. Especificamente, a alternativa (e) afirma: "Para , é o único subgrupo normal não trivial de ". Para resolver isso, precisamos entender o que são subgrupos normais e analisar a relação entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um subgrupo normal. Em teoria de grupos, um subgrupo de um grupo é normal se ele é invariante sob conjugação, ou seja, para todo elemento em e todo em , o elemento também está em . Subgrupos normais são importantes porque permitem que a estrutura do grupo seja dividida de maneira mais fácil.

Passo 3

Agora, vamos focar no grupo simétrico e no grupo alternado . O grupo alternado é formado por todas as permutações pares de . Sabemos que é um subgrupo normal de porque ele é o núcleo do homomorfismo de assinatura que mapeia cada permutação para ou dependendo de ser par ou ímpar.

Passo 4

A próxima etapa é analisar se existem outros subgrupos normais não triviais em além de para . Para isso, lembramos que, para , os grupos alternados são simples, ou seja, não possuem subgrupos normais próprios. Além disso, não possui outros subgrupos normais além do trivial, , e ele próprio.

Passo 5

Portanto, a afirmação de que "Para , é o único subgrupo normal não trivial de " está correta. Não existem outros subgrupos normais não triviais além de em quando .

Resposta

A alternativa (e) está correta.

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