Seja
um grupo e considere as seguinte afirmações:
(I) Se
e
, então
.
(I) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre grupos, que é um conceito fundamental na álgebra abstrata. Especificamente, temos um grupo
e a afirmação (I): "Se
é um subgrupo de
e
é um subgrupo normal de
, então
é também um subgrupo normal de
". Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subgrupos, subgrupos normais e como funciona a operação de produto de subgrupos.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um subgrupo normal. Um subgrupo
de
é normal se, para todo elemento
em
, o conjugado de
por
está em
, ou seja,
. Isso significa que
permanece inalterado quando “mexido” por qualquer elemento de
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o produto de dois subgrupos
e
, denotado por
. Esse produto é o conjunto de todos os elementos que podem ser escritos como
, onde
está em
e
está em
. Para que
seja um subgrupo de
, precisamos que ele satisfaça as propriedades de subgrupo: conter o elemento identidade, ser fechado sob a operação do grupo e conter os inversos dos seus elementos.
Passo 4
Sabendo que
é normal em
, podemos provar que
também é normal em
. Vamos verificar a normalidade de
em
:
Tomemos qualquer elemento
em
e qualquer elemento
em
. Queremos ver se
ainda está em
.
Passo a Passo:
-
. - Como
é normal, está em . -
está em , mas é subgrupo, então também é subgrupo de . - Portanto,
está em , já que é produto de elementos de e .
Passo 5
Como mostramos que para qualquer
em
e qualquer
em
, o elemento
está em
, concluímos que
é normal em
.
Resposta
A afirmação (I) é verdadeira: Se
é um subgrupo de
e
é um subgrupo normal de
, então
é também um subgrupo normal de
.