Seja G um grupo e considere as seguinte afirmações:
(I) Se H <= G e K unlh G, então H K unlh G.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre grupos, que é um conceito fundamental na álgebra abstrata. Especificamente, temos um grupo e a afirmação (I): "Se é um subgrupo de e é um subgrupo normal de , então é também um subgrupo normal de ". Para resolver isso, vamos precisar entender o que são subgrupos, subgrupos normais e como funciona a operação de produto de subgrupos.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um subgrupo normal. Um subgrupo de é normal se, para todo elemento em , o conjugado de por está em , ou seja, . Isso significa que permanece inalterado quando “mexido” por qualquer elemento de .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o produto de dois subgrupos e , denotado por . Esse produto é o conjunto de todos os elementos que podem ser escritos como , onde está em e está em . Para que seja um subgrupo de , precisamos que ele satisfaça as propriedades de subgrupo: conter o elemento identidade, ser fechado sob a operação do grupo e conter os inversos dos seus elementos.

Passo 4

Sabendo que é normal em , podemos provar que também é normal em . Vamos verificar a normalidade de em :
Tomemos qualquer elemento em e qualquer elemento em . Queremos ver se ainda está em .
Passo a Passo:
  1. .
  2. Como é normal, está em .
  3. está em , mas é subgrupo, então também é subgrupo de .
  4. Portanto, está em , já que é produto de elementos de e .

Passo 5

Como mostramos que para qualquer em e qualquer em , o elemento está em , concluímos que é normal em .

Resposta

A afirmação (I) é verdadeira: Se é um subgrupo de e é um subgrupo normal de , então é também um subgrupo normal de .

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