Uma sequência exata de espaços vetoriais Vi de dimensão finita
0 -> T0 -> V1 -> T7 -> V2 -> T2 -> V3 -> T3 -> V4 -> T4 -> 0
é uma sequência de transformações lineares Ti tais que ker(T_{i+1}) = im(T_{i}) para i = 0, 1, 2, 3 (denotamos por 0 o espaço vetorial nulo). Se na sequência exata acima dim Vi = di, então é sempre verdade que
© d1 + d3 = d2 + d4

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me trouxe um exercício sobre sequências exatas de espaços vetoriais com dimensões finitas. A ideia é mostrar que, nessa configuração específica, a soma das dimensões de certos espaços vetoriais é igual à soma de outras dimensões. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares, núcleo (ker), imagem (im) e o teorema da dimensão (também conhecido como teorema de Rank-Nullity).

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma sequência exata. Em termos simples, uma sequência de espaços vetoriais e transformações lineares entre eles é dita exata se, para cada transformação, o núcleo da próxima transformação é igual à imagem da transformação atual. Ou seja, em nossa sequência:
temos que:
  • ,
  • ,
  • ,
  • .
Como T0 e são as transformações do zero, isso simplifica um pouco as coisas, pois e são apenas o espaço nulo.

Passo 3

Agora, vamos lembrar do teorema da dimensão para transformações lineares. Esse teorema nos diz que, para uma transformação linear , a dimensão do domínio U é igual à soma da dimensão da imagem de T e da dimensão do núcleo de T:
Vamos aplicar esse teorema às transformações na nossa sequência.

Passo 4

Aplicando o teorema da dimensão à transformação , temos:
Mas, pela exatidão da sequência, sabemos que . Como T0 mapeia de 0 para V1, é apenas , então .
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos aplicar o teorema da dimensão à transformação :
Novamente, pela exatidão, , e já determinamos que . Então:
Isso nos dá:

Passo 6

Vamos continuar com a transformação :
Pela exatidão, , e já vimos que . Então:
Isso nos leva a:

Passo 7

Por fim, analisamos a transformação :
Como mapeia para o espaço nulo, , então . Além disso, , que já calculamos como .
Portanto:

Resposta

Assim, reorganizando a equação, temos:

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