Beleza, vamos lá! Você me trouxe um exercício sobre sequências exatas de espaços vetoriais com dimensões finitas. A ideia é mostrar que, nessa configuração específica, a soma das dimensões de certos espaços vetoriais é igual à soma de outras dimensões. Para isso, vamos precisar usar conceitos de transformações lineares, núcleo (ker), imagem (im) e o teorema da dimensão (também conhecido como teorema de Rank-Nullity).
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma sequência exata. Em termos simples, uma sequência de espaços vetoriais e transformações lineares entre eles é dita exata se, para cada transformação, o núcleo da próxima transformação é igual à imagem da transformação atual. Ou seja, em nossa sequência:
temos que:
,
,
,
.
Como T0 e são as transformações do zero, isso simplifica um pouco as coisas, pois e são apenas o espaço nulo.
Passo 3
Agora, vamos lembrar do teorema da dimensão para transformações lineares. Esse teorema nos diz que, para uma transformação linear , a dimensão do domínio U é igual à soma da dimensão da imagem de T e da dimensão do núcleo de T:
Vamos aplicar esse teorema às transformações na nossa sequência.
Passo 4
Aplicando o teorema da dimensão à transformação , temos:
Mas, pela exatidão da sequência, sabemos que . Como T0 mapeia de 0 para V1, é apenas , então .
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos aplicar o teorema da dimensão à transformação :
Novamente, pela exatidão, , e já determinamos que . Então:
Isso nos dá:
Passo 6
Vamos continuar com a transformação :
Pela exatidão, , e já vimos que . Então:
Isso nos leva a:
Passo 7
Por fim, analisamos a transformação :
Como mapeia para o espaço nulo, , então . Além disso, , que já calculamos como .