Considere a seguinte matriz:
(b) (10 pontos) Calcule .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o determinante da matriz . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes de matrizes quadradas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular determinantes, especialmente de matrizes 4x4, usando a expansão por cofatores.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir o determinante da matriz pela primeira linha. Isso significa que vamos multiplicar cada elemento da primeira linha pelo seu cofator correspondente e somar tudo. A matriz é:
Então, o determinante de será:
Onde é o cofator do elemento na posição -ésima linha e -ésima coluna.
Passo 3
Vamos calcular cada cofator para .
Cofator
Removendo a primeira linha e a primeira coluna, a submatriz fica:
O cofator é dado por:
Agora, vamos calcular esse determinante 3x3.
Passo 4
Para calcular o determinante da submatriz, usamos a regra de Sarrus ou a regra geral. Vamos usar a regra geral:
Aplicando na nossa submatriz:
Então, .
Passo 5
Cofator
Removendo a primeira linha e a segunda coluna, a submatriz fica:
O cofator é:
Calculando o determinante:
Então, .
Passo 6
Cofator
Removendo a primeira linha e a terceira coluna, a submatriz fica:
O cofator é:
Calculando o determinante:
Então, .
Passo 7
Cofator
Removendo a primeira linha e a quarta coluna, a submatriz fica:
O cofator é:
Calculando o determinante:
Então, .
Passo 8
Agora, vamos substituir todos os cofatores na fórmula inicial: