Considere a seguinte matriz:
(b) (10 pontos) Calcule det(A).
A=(rrrr 2 & 4 & 2 & -6 2 & 5 & 2 & -5 -2 & -7 & -3 & 4 2 & 7 & 1 & -3 )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o determinante da matriz . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre determinantes de matrizes quadradas. Para resolver, vamos precisar entender como calcular determinantes, especialmente de matrizes 4x4, usando a expansão por cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir o determinante da matriz A=(rrrr 2 & 4 & 2 & -6 2 & 5 & 2 & -5 -2 & -7 & -3 & 4 2 & 7 & 1 & -3 ) pela primeira linha. Isso significa que vamos multiplicar cada elemento da primeira linha pelo seu cofator correspondente e somar tudo. A matriz det(A) = 2 cdot C11 + 4 cdot C12 + 2 cdot C13 + (-6) cdot C14 é:
Então, o determinante de será:
Onde é o cofator do elemento na posição -ésima linha e -ésima coluna.

Passo 3

Vamos calcular cada cofator (rrr 5 & 2 & -5 -7 & -3 & 4 7 & 1 & -3 ) para C11 = (+1)^1+1 cdot det(rrr 5 & 2 & -5 -7 & -3 & 4 7 & 1 & -3 ) = det(rrr 5 & 2 & -5 -7 & -3 & 4 7 & 1 & -3 ) .

Cofator

Removendo a primeira linha e a primeira coluna, a submatriz fica:
O cofator é dado por:
Agora, vamos calcular esse determinante 3x3.

Passo 4

Para calcular o determinante da submatriz, usamos a regra de Sarrus ou a regra geral. Vamos usar a regra geral:
det(rrr a & b & c d & e & f g & h & k ) = a(ek - fh) - b(dk - fg) + c(dh - eg)
Aplicando na nossa submatriz:
det &= 5 cdot [(-3)(-3) - 4 cdot 1] - 2 cdot [(-7)(-3) - 4 cdot 7] + (-5) cdot [(-7)(1) - (-3)(7)] &= 5 cdot (9 - 4) - 2 cdot (21 - 28) + (-5) cdot (-7 - (-21)) &= 5 cdot 5 - 2 cdot (-7) + (-5) cdot (14) &= 25 + 14 - 70 &= -31
Então, .

Passo 5

Cofator (rrr 2 & 2 & -5 -2 & -3 & 4 2 & 1 & -3 )

Removendo a primeira linha e a segunda coluna, a submatriz fica:
C12 = (-1)^1+2 cdot det(rrr 2 & 2 & -5 -2 & -3 & 4 2 & 1 & -3 ) = -det(rrr 2 & 2 & -5 -2 & -3 & 4 2 & 1 & -3 )
O cofator é:
det &= 2[(-3)(-3) - 4 cdot 1] - 2[(-2)(-3) - 4 cdot 2] + (-5)[(-2)(1) - (-3)(2)] &= 2[9 - 4] - 2[6 - 8] + (-5)[-2 + 6] &= 2 cdot 5 - 2 cdot (-2) + (-5) cdot 4 &= 10 + 4 - 20 &= -6
Calculando o determinante:
Então, .

Passo 6

Cofator (rrr 2 & 5 & -5 -2 & -7 & 4 2 & 7 & -3 )

Removendo a primeira linha e a terceira coluna, a submatriz fica:
C13 = (+1)^1+3 cdot det(rrr 2 & 5 & -5 -2 & -7 & 4 2 & 7 & -3 ) = -det(rrr 2 & 5 & -5 -2 & -7 & 4 2 & 7 & -3 )
O cofator é:
det &= 2[(-7)(-3) - 4 cdot 7] - 5[(-2)(-3) - 4 cdot 2] + (-5)[(-2)(7) - (-7)(2)] &= 2[21 - 28] - 5[6 - 8] + (-5)[-14 - (-14)] &= 2 cdot (-7) - 5 cdot (-2) + (-5) cdot 0 &= -14 + 10 + 0 &= -4
Calculando o determinante:
Então, .

Passo 7

Cofator (rrr 2 & 5 & 2 -2 & -7 & -3 2 & 7 & 1 )

Removendo a primeira linha e a quarta coluna, a submatriz fica:
C14 = (-1)^1+4 cdot det(rrr 2 & 5 & 2 -2 & -7 & -3 2 & 7 & 1 ) = det(rrr 2 & 5 & 2 -2 & -7 & -3 2 & 7 & 1 )
O cofator é:
det &= 2[(-7)(1) - (-3)(7)] - 5[(-2)(1) - (-3)(2)] + 2[(-2)(7) - (-7)(2)] &= 2[-7 + 21] - 5[-2 + 6] + 2[-14 + 14] &= 2 cdot 14 - 5 cdot 4 + 2 cdot 0 &= 28 - 20 + 0 &= 8
Calculando o determinante:
Então, .

Passo 8

Agora, vamos substituir todos os cofatores na fórmula inicial:
det(A) = 2 cdot (-31) + 4 cdot 6 + 2 cdot 4 + (-6) cdot 8
Calculando cada termo:
2 cdot (-31) &= -62 4 cdot 6 &= 24 2 cdot 4 &= 8 -6 cdot 8 &= -48
Somando tudo:
-62 + 24 + 8 - 48 = -78

Resposta

O determinante da matriz é .

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