Determine condições sobre o parâmetro de modo que o sistema:
(b) não possua solução;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares e queremos descobrir para quais valores de esse sistema não tem solução. Isso envolve entender um pouco de álgebra linear, especificamente sobre sistemas de equações e suas soluções. Vamos precisar usar métodos para resolver sistemas, como o método da matriz aumentada e o conceito de consistência do sistema.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
Para analisar se o sistema tem solução ou não, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos independentes:
Agora, vamos aplicar o método de escalonamento, ou eliminação de Gauss, para simplificar essa matriz e verificar se existe alguma inconsistência. A ideia é transformar a matriz em uma forma que facilite a identificação de soluções.
Passo 5
Primeiro, vamos eliminar o -1 & 4 & 2 & | & 3 0 & 2 & 7 & | & -9 0 & 2 & k^2 + 4k + 10 & | & k + 8 das segunda e terceira equações usando a primeira equação. Para isso, multiplicamos a primeira equação por 3 e somamos à segunda, e multiplicamos a primeira por -2 e somamos à terceira.
Após essas operações, a nova matriz fica:
Passo 6
Agora, vamos eliminar o -1 & 4 & 2 & | & 3 0 & 2 & 7 & | & -9 0 & 0 & k^2 + 4k + 10 - 7 & | & (k + 8) - (-9) da terceira equação usando a segunda equação. Subtraímos a segunda equação da terceira:
Agora, observamos a terceira linha da matriz. Para o sistema não ter solução, precisamos que essa linha gere uma equação impossível, como k^2 + 4k + 3 = 0 e k + 17 neq 0 , onde .
Então, para que isso aconteça, o coeficiente de na terceira equação deve ser zero, mas o termo independente não pode ser zero: