Determine condições sobre o parâmetro k de modo que o sistema:
(b) não possua solução;
ccccc -x+4 y+ & 2 z & = & 3 3 x-10 y+ & z & = & -18 -2 x+10 y+ & (k^2+4 k+6) z & = & k+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações lineares e queremos descobrir para quais valores de esse sistema não tem solução. Isso envolve entender um pouco de álgebra linear, especificamente sobre sistemas de equações e suas soluções. Vamos precisar usar métodos para resolver sistemas, como o método da matriz aumentada e o conceito de consistência do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
ccccc -x + 4y + 2z &=& 3 3x - 10y + z &=& -18 -2x + 10y + (k^2 + 4k + 6)z &=& k + 2

Passo 3

Para analisar se o sistema tem solução ou não, vamos montar a matriz aumentada do sistema. A matriz aumentada inclui os coeficientes das variáveis e os termos independentes:
-1 & 4 & 2 & | & 3 3 & -10 & 1 & | & -18 -2 & 10 & k^2 + 4k + 6 & | & k + 2

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método de escalonamento, ou eliminação de Gauss, para simplificar essa matriz e verificar se existe alguma inconsistência. A ideia é transformar a matriz em uma forma que facilite a identificação de soluções.

Passo 5

Primeiro, vamos eliminar o -1 & 4 & 2 & | & 3 0 & 2 & 7 & | & -9 0 & 2 & k^2 + 4k + 10 & | & k + 8 das segunda e terceira equações usando a primeira equação. Para isso, multiplicamos a primeira equação por 3 e somamos à segunda, e multiplicamos a primeira por -2 e somamos à terceira.
Após essas operações, a nova matriz fica:

Passo 6

Agora, vamos eliminar o -1 & 4 & 2 & | & 3 0 & 2 & 7 & | & -9 0 & 0 & k^2 + 4k + 10 - 7 & | & (k + 8) - (-9) da terceira equação usando a segunda equação. Subtraímos a segunda equação da terceira:
-1 & 4 & 2 & | & 3 0 & 2 & 7 & | & -9 0 & 0 & k^2 + 4k + 3 & | & k + 17
Simplificando:

Passo 7

Agora, observamos a terceira linha da matriz. Para o sistema não ter solução, precisamos que essa linha gere uma equação impossível, como k^2 + 4k + 3 = 0 e k + 17 neq 0 , onde .
Então, para que isso aconteça, o coeficiente de na terceira equação deve ser zero, mas o termo independente não pode ser zero:

Passo 8

Vamos resolver a equação quadrática k = -4 pm raiz16 - 122 = -4 pm raiz42 = -4 pm 22 :
Usando a fórmula de Bhaskara:
k = -4 + 22 = -1 e k = -4 - 22 = -3
Então, as soluções são:

Passo 9

Agora, precisamos garantir que k + 17 neq 0 Rightarrow k neq -17 para essas soluções de :
Como e são diferentes de -17, não temos problema aqui.

Resposta

O sistema não possui solução quando e .

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