Determine condições sobre o parâmetro de modo que o sistema:
© possua infinitas soluções. Nesse caso, encontre a solução geral do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações lineares com três variáveis ( , , ) e quer descobrir para quais valores de esse sistema vai ter infinitas soluções. Basicamente, estamos trabalhando com sistemas lineares e vamos precisar usar eliminação de Gauss para resolver isso. A ideia é simplificar o sistema para ver quando as equações se tornam dependentes, ou seja, uma pode ser obtida a partir das outras.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita a aplicação das operações de linha. A matriz aumentada fica assim:

Passo 3

Agora, vamos começar a simplificar essa matriz usando a eliminação de Gauss. Primeiro, queremos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (-1 na primeira linha, primeira coluna). Para isso, vamos:
  • Multiplicar a primeira linha por 3 e somar com a segunda linha.
  • Multiplicar a primeira linha por -2 e somar com a terceira linha.
Fazendo isso, temos:
  1. :
    Então, a nova Linha 2 é:
  2. :
    Então, a nova Linha 3 é:
Agora, a matriz fica assim:

Passo 4

Observamos que as linhas 2 e 3 têm o mesmo coeficiente para (2). Para que o sistema tenha infinitas soluções, essas duas linhas precisam ser proporcionais, ou seja, todas as partes correspondentes devem ser iguais.
Então, vamos igualar as proporções:
Da primeira igualdade, já sabemos que . Então, igualamos as outras duas partes a 1:
Vamos resolver a equação quadrática para verificar:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, ou .
Mas do segundo ponto, vimos que precisa ser para que . Portanto, a única condição que satisfaz ambas as igualdades é .

Passo 5

Agora que sabemos que é a condição para o sistema ter infinitas soluções, vamos encontrar a solução geral substituindo no sistema original.
Substituindo na terceira equação:
Então, o sistema fica:
Vamos simplificar mais:
Da segunda equação:
Da terceira equação:
Igualando as duas expressões para :
Multiplicando ambos os lados por 2:
Agora, substituindo em :
E substituindo e na primeira equação:

Resposta

Para que o sistema tenha infinitas soluções, o parâmetro deve ser . Nessa condição, a solução geral do sistema é , e .

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