Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações lineares com três variáveis (x, y, z) e quer descobrir para quais valores de k esse sistema vai ter infinitas soluções. Basicamente, estamos trabalhando com sistemas lineares e vamos precisar usar eliminação de Gauss para resolver isso. A ideia é simplificar o sistema para ver quando as equações se tornam dependentes, ou seja, uma pode ser obtida a partir das outras.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita a aplicação das operações de linha. A matriz aumentada fica assim:
Agora, vamos começar a simplificar essa matriz usando a eliminação de Gauss. Primeiro, queremos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (-1 na primeira linha, primeira coluna). Para isso, vamos:
Multiplicar a primeira linha por 3 e somar com a segunda linha.
Multiplicar a primeira linha por -2 e somar com a terceira linha.
Observamos que as linhas 2 e 3 têm o mesmo coeficiente para y (2). Para que o sistema tenha infinitas soluções, essas duas linhas precisam ser proporcionais, ou seja, todas as partes correspondentes devem ser iguais.
Então, vamos igualar as proporções:
22 = 7k^2 + 4k + 2 = -9k - 4
Da primeira igualdade, já sabemos que 2/2 = 1. Então, igualamos as outras duas partes a 1:
Vamos resolver a equação quadrática para verificar:
k^2 + 4k - 5 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
k = -4 pm raiz16 + 202 = -4 pm raiz362 = -4 pm 62
Então, k = 1 ou k = -5.
Mas do segundo ponto, vimos que k precisa ser -5 para que -9k - 4 = 1. Portanto, a única condição que satisfaz ambas as igualdades é k = -5.
Passo 5
Agora que sabemos que k = -5 é a condição para o sistema ter infinitas soluções, vamos encontrar a solução geral substituindo k = -5 no sistema original.
Para que o sistema tenha infinitas soluções, o parâmetro deve ser k = -5. Nessa condição, a solução geral do sistema é x = -39, y = -dfrac394 e z = dfrac32.