Determine condições sobre o parâmetro k de modo que o sistema:
© possua infinitas soluções. Nesse caso, encontre a solução geral do sistema.
ccccc -x+4 y+ & 2 z & = & 3 3 x-10 y+ & z & = & -18 -2 x+10 y+ & (k^2+4 k+6) z & = & k+2

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações lineares com três variáveis ( x, y, z) e quer descobrir para quais valores de k esse sistema vai ter infinitas soluções. Basicamente, estamos trabalhando com sistemas lineares e vamos precisar usar eliminação de Gauss para resolver isso. A ideia é simplificar o sistema para ver quando as equações se tornam dependentes, ou seja, uma pode ser obtida a partir das outras.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita a aplicação das operações de linha. A matriz aumentada fica assim:
-1 & 4 & 2 & | & 3 3 & -10 & 1 & | & -18 -2 & 10 & k^2 + 4k + 6 & | & k + 2

Passo 3

Agora, vamos começar a simplificar essa matriz usando a eliminação de Gauss. Primeiro, queremos zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (-1 na primeira linha, primeira coluna). Para isso, vamos:
  • Multiplicar a primeira linha por 3 e somar com a segunda linha.
  • Multiplicar a primeira linha por -2 e somar com a terceira linha.
Fazendo isso, temos:
  1. 3 times Linha 1 + Linha 2:
    3(-1) + 3 = -3 + 3 = 0
    3(4) + (-10) = 12 - 10 = 2
    3(2) + 1 = 6 + 1 = 7
    3(3) + (-18) = 9 - 18 = -9
    Então, a nova Linha 2 é: (0, 2, 7 | -9)
  2. -2 times Linha 1 + Linha 3:
    -2(-1) + (-2) = 2 - 2 = 0
    -2(4) + 10 = -8 + 10 = 2
    -2(2) + (k^2 + 4k + 6) = -4 + k^2 + 4k + 6 = k^2 + 4k + 2
    -2(3) + (k + 2) = -6 + k + 2 = k - 4
    Então, a nova Linha 3 é: (0, 2, k^2 + 4k + 2 | k - 4)
Agora, a matriz fica assim:
-1 & 4 & 2 & | & 3 0 & 2 & 7 & | & -9 0 & 2 & k^2 + 4k + 2 & | & k - 4

Passo 4

Observamos que as linhas 2 e 3 têm o mesmo coeficiente para y (2). Para que o sistema tenha infinitas soluções, essas duas linhas precisam ser proporcionais, ou seja, todas as partes correspondentes devem ser iguais.
Então, vamos igualar as proporções:
22 = 7k^2 + 4k + 2 = -9k - 4
Da primeira igualdade, já sabemos que 2/2 = 1. Então, igualamos as outras duas partes a 1:
  1. 7k^2 + 4k + 2 = 1 implies k^2 + 4k + 2 = 7 implies k^2 + 4k - 5 = 0
  2. -9k - 4 = 1 implies k - 4 = -9 implies k = -5
Vamos resolver a equação quadrática para verificar:
k^2 + 4k - 5 = 0
Usando a fórmula de Bhaskara:
k = -4 pm raiz16 + 202 = -4 pm raiz362 = -4 pm 62
Então, k = 1 ou k = -5.
Mas do segundo ponto, vimos que k precisa ser -5 para que -9k - 4 = 1. Portanto, a única condição que satisfaz ambas as igualdades é k = -5.

Passo 5

Agora que sabemos que k = -5 é a condição para o sistema ter infinitas soluções, vamos encontrar a solução geral substituindo k = -5 no sistema original.
Substituindo k = -5 na terceira equação:
-2x + 10y + ((-5)^2 + 4(-5) + 6)z = -5 + 2 -2x + 10y + (25 - 20 + 6)z = -3 -2x + 10y + 11z = -3
Então, o sistema fica:
ccc -x + 4y + 2z = 3 0x + 2y + 7z = -9 0x + 2y + 11z = -3
Vamos simplificar mais:
Da segunda equação: 2y + 7z = -9 implies y = -9 - 7z2
Da terceira equação: 2y + 11z = -3 implies y = -3 - 11z2
Igualando as duas expressões para y:
-9 - 7z2 = -3 - 11z2
Multiplicando ambos os lados por 2:
-9 - 7z = -3 - 11z 4z = 6 z = 32
Agora, substituindo z = 32 em y = -9 - 7z2:
y = -9 - 7 times 322 = -9 - 2122 = -3922 = -394
E substituindo y e z na primeira equação:
-x + 4(-394) + 2(32) = 3 -x - 39 + 3 = 3 -x - 36 = 3 -x = 39 x = -39

Resposta

Para que o sistema tenha infinitas soluções, o parâmetro deve ser k = -5. Nessa condição, a solução geral do sistema é x = -39, y = -dfrac394 e z = dfrac32.

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