Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais: , onde
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar uma base e a dimensão de um subespaço vetorial que consiste em todas as matrizes de ordem com coeficientes reais, que satisfazem a condição , onde é a matriz dada:
Então, vamos trabalhar com álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais de matrizes. Precisaremos usar conceitos como solução de sistemas lineares e combinação linear para determinar a base e a dimensão de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, quando multiplicamos a matriz pela matriz , o resultado é a própria matriz . Podemos reescrever essa equação como:
Isso é o mesmo que:
onde é a matriz identidade de ordem :
Passo 3
Vamos calcular :
Então, a equação que precisamos resolver é:
Passo 4
Vamos chamar a matriz de:
Multiplicando por :
Igualando a zero:
Passo 5
Das equações resultantes, temos:
Resolvendo para e :
Isso significa que, para qualquer matriz em , os elementos e devem ser zero.
Passo 6
Portanto, a matriz em fica assim:
Agora, vamos expressar como uma combinação linear de matrizes base. Podemos escrever:
Passo 7
Isso mostra que todo em pode ser construído a partir de combinações lineares das matrizes:
Essas duas matrizes são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .