Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais: W=X in M2(R) / A X=X, onde A=(ll1 & 2 0 & 1)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar uma base e a dimensão de um subespaço vetorial A = 1 & 2 0 & 1 que consiste em todas as matrizes de ordem com coeficientes reais, que satisfazem a condição , onde é a matriz dada:
Então, vamos trabalhar com álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais de matrizes. Precisaremos usar conceitos como solução de sistemas lineares e combinação linear para determinar a base e a dimensão de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa AX - X = 0 . Isso quer dizer que, quando multiplicamos a matriz (A - I)X = 0 pela matriz I = 1 & 0 0 & 1 , o resultado é a própria matriz . Podemos reescrever essa equação como:
Isso é o mesmo que:
onde é a matriz identidade de ordem :

Passo 3

Vamos calcular A - I = 1 & 2 0 & 1 - 1 & 0 0 & 1 = 0 & 2 0 & 0 :
0 & 2 0 & 0 X = 0
Então, a equação que precisamos resolver é:

Passo 4

Vamos chamar a matriz X = x11 & x12 x21 & x22 de:
0 & 2 0 & 0 x11 & x12 x21 & x22 = 0 cdot x11 + 2 cdot x21 & 0 cdot x12 + 2 cdot x22 0 cdot x11 + 0 cdot x21 & 0 cdot x12 + 0 cdot x22 = 2x21 & 2x22 0 & 0
Multiplicando 2x21 & 2x22 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0 por :
Igualando a zero:

Passo 5

Das equações resultantes, temos:
2x21 = 0 e 2x22 = 0
Resolvendo para x21 = 0 e x22 = 0 e :
Isso significa que, para qualquer matriz em , os elementos e devem ser zero.

Passo 6

Portanto, a matriz X = x11 & x12 0 & 0 em X = x11 1 & 0 0 & 0 + x12 0 & 1 0 & 0 fica assim:
Agora, vamos expressar como uma combinação linear de matrizes base. Podemos escrever:

Passo 7

Isso mostra que todo 1 & 0 0 & 0 e 0 & 1 0 & 0 em pode ser construído a partir de combinações lineares das matrizes:
Essas duas matrizes são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .

Resposta

Uma base para 1 & 0 0 & 0 e 0 & 1 0 & 0 é composta pelas matrizes
A dimensão de é .

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