Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais:
, onde
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar uma base e a dimensão de um subespaço vetorial
que consiste em todas as matrizes
de ordem
com coeficientes reais, que satisfazem a condição
, onde
é a matriz dada:
Então, vamos trabalhar com álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais de matrizes. Precisaremos usar conceitos como solução de sistemas lineares e combinação linear para determinar a base e a dimensão de
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que, quando multiplicamos a matriz
pela matriz
, o resultado é a própria matriz
. Podemos reescrever essa equação como:
Isso é o mesmo que:
onde
é a matriz identidade de ordem
:
Passo 3
Vamos calcular
:
Então, a equação que precisamos resolver é:
Passo 4
Vamos chamar a matriz
de:
Multiplicando
por
:
Igualando a zero:
Passo 5
Das equações resultantes, temos:
Resolvendo para
e
:
Isso significa que, para qualquer matriz
em
, os elementos
e
devem ser zero.
Passo 6
Portanto, a matriz
em
fica assim:
Agora, vamos expressar
como uma combinação linear de matrizes base. Podemos escrever:
Passo 7
Isso mostra que todo
em
pode ser construído a partir de combinações lineares das matrizes:
Essas duas matrizes são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para
.
Resposta
Uma base para
é composta pelas matrizes
A dimensão de
é
.