Determine uma base e dimensão dos subespaços vetoriais: , onde

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos que encontrar uma base e a dimensão de um subespaço vetorial que consiste em todas as matrizes de ordem com coeficientes reais, que satisfazem a condição , onde é a matriz dada:
Então, vamos trabalhar com álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais de matrizes. Precisaremos usar conceitos como solução de sistemas lineares e combinação linear para determinar a base e a dimensão de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que, quando multiplicamos a matriz pela matriz , o resultado é a própria matriz . Podemos reescrever essa equação como:
Isso é o mesmo que:
onde é a matriz identidade de ordem :

Passo 3

Vamos calcular :
Então, a equação que precisamos resolver é:

Passo 4

Vamos chamar a matriz de:
Multiplicando por :
Igualando a zero:

Passo 5

Das equações resultantes, temos:
Resolvendo para e :
Isso significa que, para qualquer matriz em , os elementos e devem ser zero.

Passo 6

Portanto, a matriz em fica assim:
Agora, vamos expressar como uma combinação linear de matrizes base. Podemos escrever:

Passo 7

Isso mostra que todo em pode ser construído a partir de combinações lineares das matrizes:
Essas duas matrizes são linearmente independentes e, portanto, formam uma base para .

Resposta

Uma base para é composta pelas matrizes
A dimensão de é .

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Determine condições sobre o parâmetro de modo que o sistema:
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Determine se o conjunto de todas as matrizes da forma é um subespaço de .
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Determine condições sobre o parâmetro de modo que o sistema:
© possua infinitas soluções. Nesse caso, encontre a solução geral do sistema.