Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
3 dy/dt - 9/t y = t^6 ?
y(t) = t^7 / 12 + c t^3.
d] y(t) = t^7 / 12 + c.
b y(t) = -t^7/2 + c t^9.
e) y(t) = -t^7/2 + c.
© y(t) = t^10 + c t^9.
f y(t) = t^10 + c.

Passo 1

Vamos entender a questão: precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial dada, que é do tipo linear de primeira ordem. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão:
Dividindo todos os termos por 3, temos:
Aqui, e .

Passo 3

Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante, que é dado por:
Calculando a integral:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:

Passo 5

A equação agora pode ser escrita como:
Isso porque o lado esquerdo é a derivada do produto .

Passo 6

Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Calculando a integral:
Portanto:
Multiplicando ambos os lados por para isolar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é . Portanto, a alternativa correta é:
a) .

Exercícios relacionados

Qual das alternativas representa a solução geral da equação diferencial
3 dy/dt - 9/t y = t^7 ?
y(t) = t^8 / 15 + c t^3.
d] y(t) = t^8 / 15 + c.
(b) y(t) = -t^8 + c t^9.
e y(t) = -t^8 + c.
c) y(t) = t^11 / 2 + c t^9.
f] y(t) = t^11 / 2 + c.
Considere o seguinte problema de valor inicial (PVI).
dy/dx = 6x / (6y^2 - 3) ; y(0) = raiz(2) / 4
Resolva a equação diferencial e encontre a solução do PVI. Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do PVI dado?
a (-raiz(15) * raiz(2)^(1/4) / 12, +infinito).
d (-3 * raiz(2)^(1/4) / 4, +infinito)
b (-infinito, (raiz(15) * raiz(2^(1/4))) / 12).
e -\infty, +\infty.
c (-infinito, 3*raiz(2)/4).
f (-raiz(15) * raiz(2)^(1/4) / 12, raiz(15) * raiz(2)^(1/4) / 12).
(-3 * raiz(2)^(1/4) / 4, 3 * raiz(2)^(1/4) / 4).
Considere a solução do problema de valor inicial
dy/dt = -(y^3 + y^2)(y - 1) y(t0) = y0
Podemos afirmar que
Se -1 < y0 < 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t -> +infinito. Se y0 > 0, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito. Se y0 < -1, então |y(t)| -> +infinito, quando t cresce.
b Se -1 < y0 < +1, então a solução se aproxima de 0 , quando t -> +infinito. Se y0 < -1, então |y(t)| -> +infinito, quando t cresce. Se y0 > 1, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito.
c Se y0 > 0, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito. Se -1 < y0 < 0, então a solução se aproxima de -1 , quando t -> +infinito. Se y0 < -1, então |y(t)| -> +infinito, quando t cresce.
d Se -1 < y0 < 0, então a solução se aproxima de -1 , quando t -> +infinito. Se 0 < y0 < 1, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito. Se y0 < -1 ou y0 > 1, então |y(t)| -> +infinito, quando t cresce.
e Se y0 < -1, então a solução se aproxima de -1 , quando t -> +infinito. Se -1 < y0 < 1, então a solução se aproxima de 0 , quando t -> +infinito. Se y0 > 1, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito.
f Se y0 < -1, então a solução se aproxima de -1 , quando t -> +infinito. Se -1 < y0 < 0, então a solução se aproxima de 0 , quando t -> +infinito. Se y0 > 0, então a solução se aproxima de +1 , quando t -> +infinito.
Qual das alternativas representa o intervalo de validade da solução do problema de valor inicial
dy/dx = (x - 2) / (32 y (y^2 - 1)), y(0) = raiz(7) / 2
-\infty, +\infty. d (-infinito, 2 + raiz(11)).
b (2 - raiz(11), 2 + raiz(11)). e (-1, +infinito).
c (2 - raiz(11), +infinito). f (-infinito, 1).