Considere o seguinte sistema de equações.
r w+x+y+z=6 w+y+z=4 w+y=2
Use o método de eliminação Gaussiana para resolver o sistemas de equações (1). Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de eliminação Gaussiana. O problema envolve álgebra linear, mais especificamente a resolução de sistemas lineares. O que vamos precisar é organizar as equações em uma matriz aumentada e, passo a passo, eliminar as variáveis para chegar às soluções finais.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações em forma de matriz aumentada. Isso facilita a visualização e o processo de eliminação. Nosso sistema é:
r w + x + y + z = 6 w + y + z = 4 w + y = 2
Então, a matriz aumentada fica assim:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 6 1 & 0 & 1 & 1 & | & 4 1 & 0 & 1 & 0 & | & 2

Passo 3

O próximo passo é usar a eliminação Gaussiana para zerar os elementos abaixo do primeiro pivô (o “1” na posição (1,1)). Para isso, vamos subtrair a primeira linha da segunda e da terceira.
Primeira operação: Linha2 = Linha2 - Linha1
1 & 1 & 1 & 1 & | & 6 0 & -1 & 0 & 0 & | & -2 1 & 0 & 1 & 0 & | & 2
Segunda operação: Linha3 = Linha3 - Linha1
1 & 1 & 1 & 1 & | & 6 0 & -1 & 0 & 0 & | & -2 0 & -1 & 0 & -1 & | & -4

Passo 4

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo todos os elementos por -1, para facilitar as próximas etapas.
1 & 1 & 1 & 1 & | & 6 0 & 1 & 0 & 0 & | & 2 0 & -1 & 0 & -1 & | & -4

Passo 5

Em seguida, vamos eliminar o -1 na posição (3,2) usando a segunda linha. Para isso, adicionamos a segunda linha à terceira.
Linha3 = Linha3 + Linha2
1 & 1 & 1 & 1 & | & 6 0 & 1 & 0 & 0 & | & 2 0 & 0 & 0 & -1 & | & -2

Passo 6

Agora, olhamos para a terceira linha. Ela nos dá a equação:
-1 cdot z = -2
Resolvendo para z = 2 :

Passo 7

Com y = 2 , voltamos para a segunda linha para encontrar :

Passo 8

Agora, usamos a primeira linha para encontrar w + x + 2 + 2 = 6 w + x = 2 . Sabendo que e :

Passo 9

Temos também da terceira equação original que w + 2 = 2 w = 0 . Sabendo que :

Passo 10

Com 0 + x = 2 x = 2 e :

Resposta

As soluções do sistema são:
w = 0, x = 2, y = 2, z = 2

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