Sejam U e V sub-espaços do espaço W tais que W=U oplus V. Todo vetor w in W se escreve, de maneira única, da seguinte forma: w=u+v(u in U e v in V). Sendo P1 e P2 as projeções dadas por P1(w)=u e P2(w)=v, mostrar que:
(b) P1+P2=I;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear envolvendo subespaços vetoriais. A gente está trabalhando com dois subespaços, e , que juntos formam o espaço de forma direta, ou seja, . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito de maneira única como a soma de um vetor de e um vetor de . As projeções e pegam um vetor e retornam essas componentes em e , respectivamente. A gente precisa mostrar que a soma dessas duas projeções dá a identidade, ou seja, .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são projeções. Em Álgebra Linear, uma projeção é uma transformação linear que “projeta” cada vetor de um espaço vetorial em um subespaço específico. Aqui, projeta no subespaço , e projeta no subespaço .

Passo 3

Sabemos que significa que cada vetor em pode ser escrito de forma única como , onde está em e está em . Essa decomposição é crucial para a nossa prova.

Passo 4

Queremos provar que , onde é a transformação identidade que deixa qualquer vetor inalterado. Vamos aplicar a um vetor qualquer e ver se o resultado é igual a mesmo.

Passo 5

Aplicando as projeções, temos:
(P1 + P2)(w) = P1(w) + P2(w) = u + v
Mas, como (P1 + P2)(w) = w , isso significa que:

Passo 6

Como mostramos que para todo vetor , isso implica que age como a transformação identidade no espaço .

Resposta

Portanto, .

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