Sejam
sub-espaços do espaço
tais que
. Todo vetor
se escreve, de maneira única, da seguinte forma:
. Sendo
e
as projeções dadas por
e
, mostrar que:
(b)
;
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear envolvendo subespaços vetoriais. A gente está trabalhando com dois subespaços,
e
, que juntos formam o espaço
de forma direta, ou seja,
. Isso significa que qualquer vetor
em
pode ser escrito de maneira única como a soma de um vetor de
e um vetor de
. As projeções
e
pegam um vetor
e retornam essas componentes em
e
, respectivamente. A gente precisa mostrar que a soma dessas duas projeções dá a identidade, ou seja,
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são projeções. Em Álgebra Linear, uma projeção é uma transformação linear que “projeta” cada vetor de um espaço vetorial em um subespaço específico. Aqui,
projeta
no subespaço
, e
projeta
no subespaço
.
Passo 3
Sabemos que
significa que cada vetor
em
pode ser escrito de forma única como
, onde
está em
e
está em
. Essa decomposição é crucial para a nossa prova.
Passo 4
Queremos provar que
, onde
é a transformação identidade que deixa qualquer vetor inalterado. Vamos aplicar
a um vetor qualquer
e ver se o resultado é igual a
mesmo.
Passo 5
Aplicando as projeções, temos:
Mas, como
, isso significa que:
Passo 6
Como mostramos que
para todo vetor
, isso implica que
age como a transformação identidade
no espaço
.
Resposta
Portanto,
.