Seja U=p in P3: p^prime(1)=0. U é um subespaço vetorial de P3. Qual é a dimensão de U cap W ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou um exercício de Álgebra Linear que fala sobre espaços vetoriais. O enunciado define um conjunto de polinômios de grau até 3, onde a derivada no ponto 1 é zero. A pergunta quer saber a dimensão da interseção entre e outro espaço . Para resolver isso, precisamos entender conceitos como subespaços vetoriais, dimensão e interseção de espaços.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é U = p in P3 : p'(1) = 0 . Ele é definido como:
Aqui, é o espaço dos polinômios de grau no máximo 3. A condição significa que a derivada do polinômio no ponto 1 é zero. Isso impõe uma restrição nos coeficientes do polinômio.

Passo 3

Vamos descobrir a dimensão de . Primeiro, sabemos que tem dimensão 4 (porque um polinômio de grau 3 tem 4 coeficientes: ). A condição é uma equação linear que reduz a dimensão do espaço. Assim, a dimensão de será 3.

Passo 4

Agora, sobre . O enunciado não definiu , o que é essencial para determinar . Para encontrar a dimensão da interseção de dois subespaços, precisamos saber as dimensões individuais e como eles se relacionam. Sem essa informação, não conseguimos calcular .

Passo 5

Para justificar, precisamos dos detalhes sobre . Pode ser um subespaço específico com uma condição particular, o que afetaria a interseção com . Sem isso, estamos sem como prosseguir.

Resposta

Não é possível determinar a dimensão de porque a definição de não foi fornecida no enunciado.

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