Considere o seguinte sistema linear :
l x-y=b1-a1 y-z=b2-a2 z-w=b3-a3 x-w=a4-b4
onde a1, a2, a3, a4, b1, b2, b3 e b4 são parâmetros reais. Qual a relação entre os parâmetros de forma que o sistema seja :
(b) SPI

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um sistema de equações lineares com quatro incógnitas: x - y = b1 - a1 y - z = b2 - a2 z - w = b3 - a3 x - w = a4 - b4 , , e . As equações são:
O conteúdo que vamos usar aqui é Álgebra Linear, especificamente sistemas lineares. Nosso objetivo é encontrar uma condição que os parâmetros e devem satisfazer para que o sistema seja um Sistema Possível Indeterminado (SPI), ou seja, que tenha infinitas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema de forma mais clara. Podemos reescrever as equações assim:
x - y = b1 - a1 (1) y - z = b2 - a2 (2) z - w = b3 - a3 (3) x - w = a4 - b4 (4)
Nos sistemas lineares, para determinar se o sistema é possível e indeterminado, precisamos analisar a consistência das equações e verificar se há uma dependência entre elas que permita infinitas soluções.

Passo 3

Vamos tentar expressar todas as variáveis em termos de uma delas, por exemplo, z = w + b3 - a3 . Começamos pela equação (3):
y - (w + b3 - a3) = b2 - a2 y = w + b3 - a3 + b2 - a2
Agora, substituímos x - (w + b3 - a3 + b2 - a2) ) = b1 - a1 x = w + b3 - a3 + b2 - a2 + b1 - a1 na equação (2):
(w + b3 - a3 + b2 - a2 + b1 - a1) ) - w = a4 - b4
Em seguida, substituímos b3 - a3 + b2 - a2 + b1 - a1 = a4 - b4 na equação (1):
Agora, temos , e expressos em termos de . Vamos substituir na equação (4):
Simplificando:

Passo 4

Para que o sistema tenha infinitas soluções, essa última equação deve ser verdadeira. Isso significa que os parâmetros devem satisfazer a seguinte relação:
b1 + b2 + b3 - a1 - a2 - a3 = a4 - b4
Podemos reorganizar essa equação para deixar mais claro:
a4 - b4 = (b1 - a1) + (b2 - a2) + (b3 - a3)

Resposta

A relação entre os parâmetros para que o sistema seja um Sistema Possível Indeterminado (SPI) é:
a4 - b4 = (b1 - a1) + (b2 - a2) + (b3 - a3)
Ou de forma simplificada:
a4 - b4 = b1 + b2 + b3 - a1 - a2 - a3

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