Verifique se as retas são concorrentes e, se forem, encontre o ponto de interseção.
& r: X=(3,-1)+lambda(-2,3) & s: X=(9,-10)+lambda(4,-6)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificar se as retas e se cruzam (são concorrentes) e, se sim, encontrar o ponto de interseção. A matéria que vamos usar aqui é de Geometria Analítica, especificamente sobre retas no plano cartesiano usando representação paramétrica. Para resolver, vamos precisar igualar as equações paramétricas das duas retas e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas das retas r: X &= (3, -1) + lambda (-2, 3) s: X &= (9, -10) + mu (4, -6) e :
Aqui, e são parâmetros que determinam os pontos das retas.

Passo 3

Para encontrar se as retas se cruzam, igualamos as coordenadas correspondentes das duas retas:
3 - 2lambda = 9 + 4mu -1 + 3lambda = -10 - 6mu
Dessa forma, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ( e ).

Passo 4

Vamos resolver o sistema. Primeiro, reescrevemos as equações:
  1.   (igualando a primeira equação a zero)
  2.   (igualando a segunda equação a zero)

Passo 5

Observamos que a segunda equação pode ser obtida multiplicando a primeira equação por -1.5 times (-2lambda - 4mu) = -1.5 times 6 3lambda + 6mu = -9 :
Multiplicando a primeira equação por :
Isso é exatamente a segunda equação do sistema. Isso significa que as duas equações são equivalentes.

Passo 6

Como as duas equações são equivalentes, isso indica que o sistema tem infinitas soluções. Em termos geométricos, isso quer dizer que as retas e são coincidentes, ou seja, estão exatamente sobrepostas uma sobre a outra.

Passo 7

Portanto, como as retas são coincidentes, elas têm infinitos pontos de interseção. Não há um único ponto onde elas se cruzam; na verdade, todos os pontos das retas são pontos de interseção.

Resposta

As retas e são coincidentes, ou seja, são coincidentemente a mesma reta, tendo assim infinitos pontos de interseção.

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