Determinar o ponto de interseção da reta r com o Plano pi
r:lx=4+t y=3+2 t z=-2-3 t lambda in R, pi:lx=2+lambda+2 t y=-3-lambda-t z=1+3 lambda-3 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o ponto onde a reta intercepta o plano . A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, especificamente o estudo de interseção entre retas e planos. Para isso, precisamos igualar as equações paramétricas da reta e do plano e resolver para os parâmetros envolvidos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas da reta x = 4 + t y = 3 + 2t z = -2 - 3t e do plano x = 2 + lambda + 2t y = -3 - lambda - t z = 1 + 3lambda - 3t :
Reta :
Plano :
Aqui, é o parâmetro da reta e é um parâmetro do plano.

Passo 3

Para encontrar o ponto de interseção, vamos igualar as coordenadas 4 + t = 2 + lambda + 2t 3 + 2t = -3 - lambda - t -2 - 3t = 1 + 3lambda - 3t , e da reta às do plano:

Passo 4

Vamos resolver a primeira equação para encontrar uma relação entre 4 + t = 2 + lambda + 2t Rightarrow 4 - 2 = lambda + 2t - t Rightarrow 2 = lambda + t Rightarrow lambda = 2 - t e :

Passo 5

Agora, substituímos 3 + 2t = -3 - (2 - t) - t Rightarrow 3 + 2t = -3 - 2 + t - t Rightarrow 3 + 2t = -5 Rightarrow 2t = -8 Rightarrow t = -4 na segunda equação:

Passo 6

Com lambda = 2 - (-4) = 2 + 4 = 6 , podemos encontrar :

Passo 7

Agora que temos x = 4 + (-4) = 0 y = 3 + 2(-4) = 3 - 8 = -5 z = -2 - 3(-4) = -2 + 12 = 10 , substituímos na equação da reta para encontrar as coordenadas do ponto de interseção:

Resposta

O ponto de interseção da reta com o plano é .

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