Seja
A=[ccc 3 & 0 & -4 0 & -3 & 5 0 & 0 & -1 ]=
(b) Calcule A^1721

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício onde temos a matriz e precisamos calcular . A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente o cálculo de potências de matrizes. Vamos precisar entender como elevar uma matriz a uma potência alta utilizando a diagonalização.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a matriz A = 3 & 0 & -4 0 & -3 & 5 0 & 0 & -1 :
Perceba que é uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero.

Passo 3

O próximo passo é encontrar os autovalores de lambda1 = 3, lambda2 = -3, lambda3 = -1 . Para matrizes triangulares, os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Assim, os autovalores são:

Passo 4

Como os autovalores são distintos, sabemos que a matriz A = P D P^-1 é diagonalizável. Isso significa que podemos escrever como:
onde é uma matriz diagonal formada pelos autovalores de , e é a matriz formada pelos autovetores correspondentes a cada autovalor.

Passo 5

Para calcular A^1721 = (P D P^-1)^1721 = P D^1721 P^-1 , utilizamos a propriedade da diagonalização:
Aqui, é simplesmente a matriz diagonal com cada elemento elevado à potência 1721.

Passo 6

Agora, elevando a matriz diagonal D^1721 = 3^1721 & 0 & 0 0 & (-3)^1721 & 0 0 & 0 & (-1)^1721 à potência 1721, obtemos:
Note que e , já que 1721 é ímpar.

Passo 7

Finalmente, substituindo A^1721 = P 3^1721 & 0 & 0 0 & -3^1721 & 0 0 & 0 & -1 P^-1 na expressão de :
Essa é a forma final da matriz .

Resposta

A matriz A^1721 = P 3^1721 & 0 & 0 0 & -3^1721 & 0 0 & 0 & -1 P^-1 é dada por:

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