Beleza, vamos resolver o exercício onde temos a matriz e precisamos calcular . A matéria envolvida aqui é álgebra linear, especificamente o cálculo de potências de matrizes. Vamos precisar entender como elevar uma matriz a uma potência alta utilizando a diagonalização.
Perceba que é uma matriz triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zero.
Passo 3
O próximo passo é encontrar os autovalores de lambda1 = 3, lambda2 = -3, lambda3 = -1 . Para matrizes triangulares, os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal. Assim, os autovalores são:
Passo 4
Como os autovalores são distintos, sabemos que a matriz A = P D P^-1 é diagonalizável. Isso significa que podemos escrever como:
onde é uma matriz diagonal formada pelos autovalores de , e é a matriz formada pelos autovetores correspondentes a cada autovalor.
Passo 5
Para calcular A^1721 = (P D P^-1)^1721 = P D^1721 P^-1 , utilizamos a propriedade da diagonalização:
Aqui, é simplesmente a matriz diagonal com cada elemento elevado à potência 1721.