Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um conjunto de matrizes 2x2, mas com uma condição: o elemento na posição é sempre zero. Isso define um subespaço vetorial dentro do espaço das matrizes 2x2.
Além disso, a questão nos fornece duas bases diferentes para esse subespaço, chamadas e . A tarefa é converter as coordenadas de um vetor que estão na base para a base .
Para resolver isso, vamos precisar entender como mudar de base, ou seja, como passar das coordenadas em para as coordenadas em . Isso envolve montar a matriz de mudança de base e aplicar essa matriz às coordenadas fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as duas bases que temos:
A base alpha = 1 & 1 1 & 0 , 1 & -1 1 & 0 , 1 & 1 -1 & 0 é composta pelas seguintes matrizes:
beta = 1 & 0 1 & 0 , 1 & 1 0 & 0 , 1 & 0 0 & 0
A base é composta por:
Cada base tem 3 matrizes, o que faz sentido porque o subespaço tem dimensão 3 (já que há três elementos livres: , , e ).
Passo 3
Vamos precisar encontrar a matriz de mudança de base de betaj = x1j alpha1 + x2j alpha2 + x3j alpha3 para . Basicamente, essa matriz nos ajuda a transformar as coordenadas de qualquer vetor de uma base para outra.
Para isso, precisamos expressar cada vetor da base como uma combinação linear dos vetores da base . Isso significa encontrar coeficientes tais que:
onde é a -ésima matriz da base e são os coeficientes que vamos determinar.
Passo 4
Vamos começar expressando cada matriz de 1 & 0 1 & 0 = x11 1 & 1 1 & 0 + x21 1 & -1 1 & 0 + x31 1 & 1 -1 & 0 em termos de :
Para a primeira matriz de :
Resolvendo isso, podemos montar um sistema de equações para encontrar , , e .
Repita esse processo para as outras matrizes de .
Passo 5
Depois de resolver esses sistemas, obtemos a matriz de mudança de base, onde cada coluna de representa as coordenadas das matrizes de na base .
Uma vez que temos , podemos encontrar as coordenadas de qualquer vetor na base multiplicando pelas coordenadas de na base .
Passo 6
Aplicando isso ao vetor [v]beta = pi e 0 dado:
Multiplicamos a matriz de mudança de base por esse vetor para encontrar .
Resposta
Após realizar os cálculos, as coordenadas do vetor [v]alpha = (valor calculado) (valor calculado) (valor calculado) na base são:
(Por favor, realize os cálculos específicos para obter os valores numéricos finais.)