Consedere o operador linear dado por .
Este operador e- diagonalizázel? Por que?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se o operador linear , que transforma um vetor em , é diagonalizável. Isso está dentro da matéria de álgebra linear, especificamente sobre diagonalização de operadores. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa diagonalizar um operador e encontrar os autovalores e autovetores desse operador.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é diagonalizar um operador. Um operador é diagonalizável se conseguirmos representá-lo como uma matriz diagonal em alguma base. Isso acontece quando temos um conjunto de autovetores linearmente independentes. Para encontrar se isso é possível, precisamos encontrar os autovalores e os autovetores de .
Passo 3
Vamos encontrar os autovalores de . Lembrando que os autovalores são os valores de que satisfazem a equação , onde é a matriz identidade.
A matriz de é:
Subtraindo :
Calculamos o determinante:
Resolvendo , temos e .
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Então, um autovetor associado a é qualquer múltiplo de .
Para :
Resolvemos :
Então, um autovetor associado a é qualquer múltiplo de .
Passo 5
Agora que encontramos dois autovalores distintos ( e ) e dois autovetores linearmente independentes ( e ), podemos concluir que o operador possui uma base formada por autovetores. Isso significa que é diagonalizável.
Resposta
Sim, o operador é diagonalizável porque possui dois autovalores distintos e seus respectivos autovetores formam uma base de .