Seja o conjunto das matrizes simétricas de ordem . Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a dimensão do conjunto das matrizes simétricas de ordem é igual a . Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre espaços vetoriais e suas dimensões. Para resolver, vamos analisar quantos elementos são independentes em uma matriz simétrica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma matriz simétrica. Uma matriz de ordem é simétrica se ela é igual à sua transposta, ou seja, . Isso significa que o elemento na posição é igual ao elemento na posição , ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos contar quantos elementos são realmente independentes em uma matriz simétrica. Observe que na diagonal principal da matriz, onde , os elementos são únicos e não têm correspondentes. Já fora da diagonal, cada elemento é igual a , então podemos considerar apenas uma dessas posições para contar os elementos independentes.
Passo 4
Vamos dividir a contagem em duas partes:
Elementos da diagonal principal: Há elementos na diagonal de uma matriz .
Elementos acima da diagonal (ou abaixo, já que são iguais): São os elementos onde . O número de tais elementos é dado por:Isso porque para cada linha de 1 a , há elementos acima da diagonal.
Passo 5
Para encontrar a dimensão do espaço , somamos os elementos independentes da diagonal e acima da diagonal: