Sejam e vetores em . Prove que um deles é múltiplo escalar do outro se, e somente se, para quaisquer .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores e no espaço . Precisamos provar que um vetor é múltiplo escalar do outro se e somente se a condição for qualquer é satisfeita.
Vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre vetores colineares e proporcionalidade entre componentes de vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um vetor ser múltiplo escalar do outro. Dizemos que é múltiplo escalar de se existe um número real tal que:
Isso quer dizer que cada componente de é igual à correspondente de multiplicada por :
Passo 3
Agora, vamos ver a condição dada na questão: para quaisquer .
Se é múltiplo escalar de , ou seja, , então:
E igualmente,
Como a multiplicação é comutativa (), temos:
Portanto, a condição é satisfeita.
Passo 4
Para a outra direção, vamos assumir que para quaisquer .
Vamos escolher e para cada , temos:
Se , podemos isolar :
Isso mostra que cada componente é proporcional a com o fator .
Portanto, , ou seja, é múltiplo escalar de .
Resposta
Concluímos que um dos vetores ou é múltiplo escalar do outro se e somente se para quaisquer .