Considere o seguinte subespaço vetorial de M2(R) :
U=(cc x & y z & w ) rvert, x-y-z=0
b) Ache as matrizes de mudança de bases [M]beta^alpha e[M]alpha^beta.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos traz um subespaço vetorial de matrizes com entradas reais, definido pela condição . O conteúdo aqui envolve álgebra linear, especificamente subespaços vetoriais e mudança de bases. Para resolver, vamos precisar entender como identificar uma base para e então encontrar as matrizes de mudança de base entre duas bases diferentes, que chamaremos de e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que é o subespaço x & y z & w . Ele consiste em todas as matrizes que satisfazem a equação . Isso significa que, em qualquer matriz dessa forma:
a relação entre os elementos , e deve sempre ser . Portanto, podemos expressar em termos de e .

Passo 3

Vamos expressar A = y + z & y z & w de forma paramétrica, escrevendo . Assim, qualquer matriz em pode ser escrita como:
Aqui, , e são os parâmetros que podem assumir qualquer valor real. Isso nos ajuda a identificar uma base para , ou seja, um conjunto de matrizes que geram todo o subespaço de maneira linearmente independente.

Passo 4

Vamos identificar uma base para A = y 1 & 1 0 & 0 + z 1 & 0 1 & 0 + w 0 & 0 0 & 1 . Observando a forma paramétrica de alpha = 1 & 1 0 & 0 , 1 & 0 1 & 0 , 0 & 0 0 & 1 , podemos decompô-la em combinações lineares de matrizes básicas:
Portanto, uma base para pode ser:
Vamos supor que seja uma outra base para , que também pode ser composta por três matrizes diferentes e linearmente independentes.

Passo 5

Agora, para encontrar as matrizes de mudança de base e , precisamos expressar cada vetor de uma base em termos da outra base.
Ou seja, para , vamos escrever cada vetor de como combinação linear dos vetores de . E para , fazemos o contrário.

Passo 6

Vamos detalhar o processo de mudança de base. Suponha que:
alpha = v1, v2, v3
e
beta = u1, u2, u3
Queremos encontrar ui = ci1v1 + ci2v2 + ci3v3 , que é a matriz cujas colunas são as coordenadas dos vetores de na base . Isso significa resolver para cada :
Os coeficientes formam as colunas da matriz de mudança de base.

Passo 7

Depois de encontrar , a matriz é simplesmente a inversa de . Isso ocorre porque a mudança de base de para é o inverso da mudança de para .

Passo 8

Vamos ilustrar com um exemplo específico. Suponha que:
beta = 2 & 1 1 & 0 , 1 & 0 0 & 1 , 0 & 1 1 & 1
Queremos expressar cada um desses vetores em termos da base .

Passo 9

Para o primeiro vetor de 2 & 1 1 & 0 = c11 1 & 1 0 & 0 + c12 1 & 0 1 & 0 + c13 0 & 0 0 & 1 :
2 = c11 + c12
Resolvendo as equações:
1 = c11
1 = c12
0 = c13
1 1 0
Portanto, os coeficientes são , , . Então, a primeira coluna de é .

Passo 10

Repetindo o processo para os outros vetores de 1 & 0 0 & 1 = c21 1 & 1 0 & 0 + c22 1 & 0 1 & 0 + c23 0 & 0 0 & 1 :
Para o segundo vetor:
1 = c21 + c22
Resolvendo as equações:
0 = c21
0 = c22
1 = c23
Aqui, percebemos que não há solução consistente, o que indica que não está corretamente definida como uma base para . Portanto, é importante garantir que as bases e sejam realmente bases válidas para o subespaço .

Passo 11

Assumindo que temos duas bases válidas e , o procedimento geral para encontrar as matrizes de mudança de base é o seguinte:
  1. Expressar cada vetor de uma base em termos da outra base.
  2. Organizar os coeficientes encontrados como colunas na matriz de mudança de base.
  3. A matriz inversa dará a mudança de base na direção oposta.

Passo 12

Como o exemplo específico apresentou inconsistências, vamos concluir que, para encontrar e , é essencial que ambas as bases sejam completamente definidas e consistentes dentro do subespaço .

Resposta

As matrizes de mudança de bases e são construídas a partir das coordenadas dos vetores de cada base em relação à outra. Após identificar bases válidas e para o subespaço , é formada pelas coordenadas dos vetores de na base , e é a inversa de .

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