Determine o operador T: V W do R^2 cuja matriz em relação às bases de Ve W , beta^prime=beta=(1,2) ;(0,5) é:
A=(cc3 & 1 2 & -1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinarmos o operador linear A = 3 & 1 2 & -1 do cuja matriz em relação às bases é:
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente operadores lineares e representação de matrizes em relação a bases.
O que vamos precisar:
  • Entender como mudar a representação de uma matriz de uma base específica para a base padrão.
  • Utilizar a mudança de base para determinar o operador no espaço na base padrão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a matriz dada. Ela representa o operador nas bases e . Como as duas bases são iguais ( ), isso simplifica um pouco as coisas.
Para encontrar o operador na base padrão, precisamos relacionar a base com a base padrão. Isso é feito através da mudança de base.

Passo 3

Vamos começar construindo a matriz de mudança de base da base P = 1 & 0 2 & 5 para a base padrão. A base é composta pelos vetores e .
A matriz de mudança de base é formada colocando os vetores da base como colunas:

Passo 4

Para encontrar o operador [T]padrão = P cdot A cdot P^-1 na base padrão, usamos a seguinte fórmula de mudança de base:
ã
Onde:
  • ã é a matriz do operador na base padrão.
  • é a matriz de mudança de base que construímos.
  • é a matriz do operador nas bases e .

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a inversa da matriz P^-1 = 1det(P) d & -b -c & a . A inversa de uma matriz det(P) = (1)(5) - (0)(2) = 5 é dada por:
P^-1 = 15 5 & 0 -2 & 1 = 1 & 0 -25 & 15
Onde .
Para nossa matriz :
Então,

Passo 6

Agora, vamos multiplicar as matrizes na ordem P cdot A = 1 & 0 2 & 5 cdot 3 & 1 2 & -1 = (1)(3) + (0)(2) & (1)(1) + (0)(-1) (2)(3) + (5)(2) & (2)(1) + (5)(-1) = 3 & 1 16 & -3 .
Primeiro, calculamos :

Passo 7

Em seguida, multiplicamos o resultado por [T]padrão = 3 & 1 16 & -3 cdot 1 & 0 -25 & 15 = 3 cdot 1 + 1 cdot (-25) & 3 cdot 0 + 1 cdot 15 16 cdot 1 + (-3) cdot (-25) & 16 cdot 0 + (-3) cdot 15 :
[T]padrão = 3 - 25 & 0 + 15 16 + 65 & 0 - 35 = 155 - 25 & 15 805 + 65 & -35 = 135 & 15 865 & -35 ã
Calculando cada entrada:
ã

Resposta

Portanto, o operador [T]padrão = dfrac135 & dfrac15 [6px] dfrac865 & -dfrac35 na base padrão de é representado pela matriz:
ã

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