Determine o operador
do
cuja matriz em relação às bases de Ve W ,
é:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinarmos o operador linear
do
cuja matriz em relação às bases
é:
Matéria envolvida: Álgebra Linear, especificamente operadores lineares e representação de matrizes em relação a bases.
O que vamos precisar:
- Entender como mudar a representação de uma matriz de uma base específica para a base padrão.
- Utilizar a mudança de base para determinar o operador
no espaço na base padrão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a matriz
dada. Ela representa o operador
nas bases
e
. Como as duas bases são iguais (
), isso simplifica um pouco as coisas.
Para encontrar o operador
na base padrão, precisamos relacionar a base
com a base padrão. Isso é feito através da mudança de base.
Passo 3
Vamos começar construindo a matriz de mudança de base da base
para a base padrão. A base
é composta pelos vetores
e
.
A matriz de mudança de base
é formada colocando os vetores da base
como colunas:
Passo 4
Para encontrar o operador
na base padrão, usamos a seguinte fórmula de mudança de base:
Onde:
-
é a matriz do operador na base padrão. -
é a matriz de mudança de base que construímos. -
é a matriz do operador nas bases e .
Passo 5
Primeiro, vamos calcular a inversa da matriz
. A inversa de uma matriz
é dada por:
Onde
.
Para nossa matriz
:
Então,
Passo 6
Agora, vamos multiplicar as matrizes na ordem
.
Primeiro, calculamos
:
Passo 7
Em seguida, multiplicamos o resultado por
:
Calculando cada entrada:
Resposta
Portanto, o operador
na base padrão de
é representado pela matriz: