Considere as seguintes distribuições de corrente: i) uma linha filamentar de corrente, percorrida por uma corrente filamentar I ao longo de âı e ii) uma superfície plana, em
, percorrida por uma corrente de densidade linear
. Sabe-se que o campo vetorial intensidade de campo magnético resultante no ponto
é igual a (
. Determine: a) I; b) o campo vetorial intensidade de campo magnético gerado por I e c) ât.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas distribuições de corrente:
- Linha filamentar de corrente: uma corrente
que flui ao longo do eixo ( ). - Superfície plana: localizada em
, com densidade de corrente superficial .
No ponto
, o campo magnético total é
. Precisamos determinar:
a) A intensidade da corrente
.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético gerado por cada distribuição de corrente e, em seguida, somar os campos para igualar ao campo total fornecido.
Passo 2
Vamos começar calculando o campo magnético gerado pela linha filamentar de corrente. A Lei de Biot-Savart para uma linha infinita nos diz que o campo magnético a uma distância
da linha é dado por:
onde:
-
é a permeabilidade do vácuo ( ), -
é a distância do ponto P à linha de corrente, -
é o vetor unitário na direção angular em coordenadas cilíndricas.
No nosso caso, a linha de corrente está ao longo do eixo
, e o ponto P está em
. A distância
será a distância perpendicular do ponto P à linha de corrente, que está no plano
.
Calculando
:
Passo 3
Agora, vamos determinar a direção do campo magnético
usando a Regra da Mão Direita. Com o polegar apontando na direção da corrente (
), os dedos enrolam-se na direção do campo.
Portanto, no ponto P, o campo magnético devido à linha de corrente
terá componentes nas direções
e
. Mas, como o campo total fornecido não tem componente
, podemos focar apenas nas componentes
e
.
Passo 4
Em seguida, calculamos o campo magnético gerado pela superfície plana com densidade de corrente
. O campo magnético devido a uma corrente superficial é dado por:
onde
é o vetor posição do ponto P em relação à superfície.
Como a superfície está em
e o ponto P está em
, a distância perpendicular é
.
Aplicando a regra da mão direita para encontrar a direção de
, obtemos que o campo terá componentes nas direções
e
.
Passo 5
Agora, somamos os campos magnéticos
e
para obter o campo magnético total:
Igualamos esse resultado ao campo magnético fornecido no enunciado
e resolvemos para a corrente
.
Resposta
a) A intensidade da corrente
é
.
Exercícios relacionados
Considere uma lâmina de corrente,
ây
, no plano
. Determine o fluxo magnético que atravessa a área retangular definida pelos seguintes pontos:
e (
.
Um condutor cilíndrico (muito longo) de raio
possui o seguinte campo magnético interno:
. Determine a corrente total no condutor.
Considere as seguintes distribuições de correntes elétricas: i) linha filamentar em
e
e ii) plano
. Determine a corrente I , bem como sua direção e sentido, na linha filamentar de tal forma que o campo magnético resultante, no ponto
, seja igual a
.
Uma densidade superficial de corrente
está em
, e outra
está em
. Calcule o fluxo magnético que atravessa a área definida por
constante
.