Considere as seguintes distribuições de corrente: i) uma linha filamentar de corrente, percorrida por uma corrente filamentar I ao longo de âı e ii) uma superfície plana, em , percorrida por uma corrente de densidade linear . Sabe-se que o campo vetorial intensidade de campo magnético resultante no ponto é igual a ( . Determine: a) I; b) o campo vetorial intensidade de campo magnético gerado por I e c) ât.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos duas distribuições de corrente:
  1. Linha filamentar de corrente: uma corrente que flui ao longo do eixo ( ).
  2. Superfície plana: localizada em , com densidade de corrente superficial .
No ponto , o campo magnético total é . Precisamos determinar:
a) A intensidade da corrente .
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Biot-Savart para calcular o campo magnético gerado por cada distribuição de corrente e, em seguida, somar os campos para igualar ao campo total fornecido.

Passo 2

Vamos começar calculando o campo magnético gerado pela linha filamentar de corrente. A Lei de Biot-Savart para uma linha infinita nos diz que o campo magnético a uma distância da linha é dado por:
onde:
  • é a permeabilidade do vácuo ( ),
  • é a distância do ponto P à linha de corrente,
  • é o vetor unitário na direção angular em coordenadas cilíndricas.
No nosso caso, a linha de corrente está ao longo do eixo , e o ponto P está em . A distância será a distância perpendicular do ponto P à linha de corrente, que está no plano .
Calculando :

Passo 3

Agora, vamos determinar a direção do campo magnético usando a Regra da Mão Direita. Com o polegar apontando na direção da corrente ( ), os dedos enrolam-se na direção do campo.
Portanto, no ponto P, o campo magnético devido à linha de corrente terá componentes nas direções e . Mas, como o campo total fornecido não tem componente , podemos focar apenas nas componentes e .

Passo 4

Em seguida, calculamos o campo magnético gerado pela superfície plana com densidade de corrente . O campo magnético devido a uma corrente superficial é dado por:
onde é o vetor posição do ponto P em relação à superfície.
Como a superfície está em e o ponto P está em , a distância perpendicular é .
Aplicando a regra da mão direita para encontrar a direção de , obtemos que o campo terá componentes nas direções e .

Passo 5

Agora, somamos os campos magnéticos e para obter o campo magnético total:
Igualamos esse resultado ao campo magnético fornecido no enunciado e resolvemos para a corrente .

Resposta

a) A intensidade da corrente é .

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