Um condutor cilíndrico (muito longo) de raio 10^-1 m possui o seguinte campo magnético interno: H=5 times 10^5(rho2-rho^23 times 10^-2) aphi A / m. Determine a corrente total no condutor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um condutor cilíndrico muito longo com raio de H = 5 times 10^5(rho2 - rho^23 times 10^-2) aphi , A/m . Dentro desse condutor, existe um campo magnético dado pela expressão
O objetivo é determinar a corrente total presente nesse condutor. Para resolver, vamos usar conceitos de magnetostática, especificamente a relação entre o campo magnético e a densidade de corrente .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a densidade de corrente nabla times H = J está relacionada ao campo . Segundo a Lei de Ampère, numa situação estacionária (sem variação no tempo), temos:
Isso significa que o rotacional do campo magnético nos dá a densidade de corrente .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de nabla times H = ( 1rho partial Hzpartial phi - partial Hphipartial z ) arho + ( partial Hrhopartial z - partial Hzpartial rho ) aphi + 1rho ( partial (rho Hphi)partial rho - partial Hrhopartial phi ) az em coordenadas cilíndricas, já que o problema tem simetria cilíndrica. Em coordenadas cilíndricas nabla times H = 1rho partial (rho Hphi)partial rho az , o rotacional de um vetor é dado por:
No nosso caso, e não depende de nem de , então as derivadas em relação a e serão zero. Assim, a única componente que sobra é:

Passo 4

Substituindo a expressão de Hphi = 5 times 10^5(rho2 - rho^23 times 10^-2) dada no problema:
rho Hphi = 5 times 10^5(rho^22 - rho^33 times 10^-2)
Primeiro, calculamos partial (rho Hphi)partial rho = 5 times 10^5(rho - 3rho^23 times 10^-2) = 5 times 10^5(rho - rho^210^-2) :
Agora, derivamos isso em relação a :

Passo 5

Simplificando a expressão:
partial (rho Hphi)partial rho = 5 times 10^5(rho - 100rho^2)
Agora, dividimos por nabla times H = 1rho times 5 times 10^5(rho - 100rho^2) az = 5 times 10^5(1 - 100rho) az para obter o rotacional:
J = 5 times 10^5(1 - 100rho) az , A/m^2
Então, a densidade de corrente é:

Passo 6

Para encontrar a corrente total I = integral0^2pi integral0^R Jz rho , drho , dphi, no condutor, precisamos integrar a densidade de corrente I = integral0^2pi integral0^0,1 5 times 10^5(1 - 100rho) rho , drho , dphi sobre a área da seção transversal do cilindro. Em coordenadas cilíndricas, a integração fica:
onde é o raio do condutor.
Substituindo :

Passo 7

Vamos resolver a integral em duas partes. Primeiro, a integral em integral0^0,1 5 times 10^5(rho - 100rho^2) drho = 5 times 10^5 ( rho^22 - 100rho^33 ) g|0^0,1 :
5 times 10^5 ( (0,1)^22 - 100(0,1)^33 ) = 5 times 10^5 ( 0,012 - 100 times 0,0013 ) = 5 times 10^5 ( 0,005 - 0,13 ) = 5 times 10^5 ( 0,005 - 0,033333 ) = 5 times 10^5 times (-0,028333) approx -1,4167 times 10^4 , A
Calculando no limite superior I = integral0^2pi (-1,4167 times 10^4) , dphi = -1,4167 times 10^4 times 2pi approx -8,9 times 10^4 , A :
Agora, integrando em :

Resposta

A corrente total no condutor é aproximadamente .

Exercícios relacionados