Um condutor cilíndrico (muito longo) de raio possui o seguinte campo magnético interno: . Determine a corrente total no condutor.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um condutor cilíndrico muito longo com raio de . Dentro desse condutor, existe um campo magnético dado pela expressão
O objetivo é determinar a corrente total presente nesse condutor. Para resolver, vamos usar conceitos de magnetostática, especificamente a relação entre o campo magnético e a densidade de corrente .
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a densidade de corrente está relacionada ao campo . Segundo a Lei de Ampère, numa situação estacionária (sem variação no tempo), temos:
Isso significa que o rotacional do campo magnético nos dá a densidade de corrente .
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de em coordenadas cilíndricas, já que o problema tem simetria cilíndrica. Em coordenadas cilíndricas , o rotacional de um vetor é dado por:
No nosso caso, e não depende de nem de , então as derivadas em relação a e serão zero. Assim, a única componente que sobra é:
Passo 4
Substituindo a expressão de dada no problema:
Primeiro, calculamos :
Agora, derivamos isso em relação a :
Passo 5
Simplificando a expressão:
Agora, dividimos por para obter o rotacional:
Então, a densidade de corrente é:
Passo 6
Para encontrar a corrente total no condutor, precisamos integrar a densidade de corrente sobre a área da seção transversal do cilindro. Em coordenadas cilíndricas, a integração fica:
onde é o raio do condutor.
Substituindo :
Passo 7
Vamos resolver a integral em duas partes. Primeiro, a integral em :