Um condutor cilíndrico (muito longo) de raio possui o seguinte campo magnético interno: . Determine a corrente total no condutor.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um condutor cilíndrico muito longo com raio de . Dentro desse condutor, existe um campo magnético dado pela expressão
O objetivo é determinar a corrente total presente nesse condutor. Para resolver, vamos usar conceitos de magnetostática, especificamente a relação entre o campo magnético e a densidade de corrente .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a densidade de corrente está relacionada ao campo . Segundo a Lei de Ampère, numa situação estacionária (sem variação no tempo), temos:
Isso significa que o rotacional do campo magnético nos dá a densidade de corrente .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de em coordenadas cilíndricas, já que o problema tem simetria cilíndrica. Em coordenadas cilíndricas , o rotacional de um vetor é dado por:
No nosso caso, e não depende de nem de , então as derivadas em relação a e serão zero. Assim, a única componente que sobra é:

Passo 4

Substituindo a expressão de dada no problema:
Primeiro, calculamos :
Agora, derivamos isso em relação a :

Passo 5

Simplificando a expressão:
Agora, dividimos por para obter o rotacional:
Então, a densidade de corrente é:

Passo 6

Para encontrar a corrente total no condutor, precisamos integrar a densidade de corrente sobre a área da seção transversal do cilindro. Em coordenadas cilíndricas, a integração fica:
onde é o raio do condutor.
Substituindo :

Passo 7

Vamos resolver a integral em duas partes. Primeiro, a integral em :
Calculando no limite superior :
Agora, integrando em :

Resposta

A corrente total no condutor é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Considere as seguintes distribuições de corrente: i) uma linha filamentar de corrente em , percorrida por uma corrente filamentar (I) de 35 mA ao longo de e ii) uma determinada superfície plana, percorrida por uma corrente de densidade linear . Sabe-se que o campo vetorial intensidade de campo magnético resultante no ponto é igual a (4âx . Determine: a) ; b) o campo vetorial intensidade de campo magnético gerado por e c) o vetor unitário normal a e ao campo calculado em b).
Uma lâmina de corrente, , está no plano e uma corrente filamentar (I) está localizada em . Determine o valor da corrente filamentar (I), bem como o respectivo sentido, se em .
Considere uma lâmina de corrente, ây , no plano . Determine o fluxo magnético que atravessa a área retangular definida pelos seguintes pontos: e ( .
Considere as seguintes distribuições de corrente: i) uma linha filamentar de corrente, percorrida por uma corrente filamentar I ao longo de âı e ii) uma superfície plana, em , percorrida por uma corrente de densidade linear . Sabe-se que o campo vetorial intensidade de campo magnético resultante no ponto é igual a ( . Determine: a) I; b) o campo vetorial intensidade de campo magnético gerado por I e c) ât.