Prove as seguintes propriedades dos operadores de Pauli:
(a) Mostre que:
(b) Mostre que:
Observação: Essas identidades serão úteis no estudo do algoritmo de Grover.
(a) Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para provar umas propriedades dos operadores de Pauli, especificamente das combinações $ XZXZ $ e $ ZXZX $. Esses operadores são fundamentais na mecânica quântica e serão úteis para entender o algoritmo de Grover. Para isso, vamos precisar usar as definições dos operadores de Pauli $ X $ e $ Z $ e aplicar essas operações ao estado quântico $ \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle $.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são os operadores de Pauli $ X $ e $ Z $:
-
O operador $ X $ (ou Pauli-X) é como uma porta NOT quântica. Ele troca $ |0\rangle $ por $ |1\rangle $ e vice-versa:
-
O operador $ Z $ (ou Pauli-Z) deixa $ |0\rangle $ inalterado e multiplica $ |1\rangle $ por -1:
Passo 3
Vamos começar com a parte (a) do exercício, que é mostrar que:
Para isso, aplicaremos os operadores na ordem indicada sobre o estado quântico.
Passo 4
Primeiro, aplicamos o operador mais à direita, que é o $ Z $:
Passo 5
Em seguida, aplicamos o operador $ X $ sobre o resultado:
Passo 6
Agora, aplicamos novamente o operador $ Z $:
Passo 7
Por fim, aplicamos o operador $ X $ mais à esquerda:
Resposta
Portanto, mostramos que: