Prove as seguintes propriedades dos operadores de Pauli:
(a) Mostre que:
X Z X Z(alpha|0rang<=+beta|1rang<=)=-(alpha|0rang<=+beta|1rang<=)
(b) Mostre que:
Z X Z X(alpha|0rang<=+beta|1rang<=)=-(alpha|0rang<=+beta|1rang<=)
Observação: Essas identidades serão úteis no estudo do algoritmo de Grover.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para provar umas propriedades dos operadores de Pauli, especificamente das combinações $ XZXZ $ e $ ZXZX $. Esses operadores são fundamentais na mecânica quântica e serão úteis para entender o algoritmo de Grover. Para isso, vamos precisar usar as definições dos operadores de Pauli $ X $ e $ Z $ e aplicar essas operações ao estado quântico $ \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são os operadores de Pauli $ X $ e $ Z $:
  • O operador $ X $ (ou Pauli-X) é como uma porta NOT quântica. Ele troca $ |0\rangle $ por $ |1\rangle $ e vice-versa:
    X
  • O operador $ Z $ (ou Pauli-Z) deixa $ |0\rangle $ inalterado e multiplica $ |1\rangle $ por -1:
    Z

Passo 3

Vamos começar com a parte (a) do exercício, que é mostrar que:
XZXZ(alpha|0rang<= + beta|1rang<=) = -(alpha|0rang<= + beta|1rang<=)
Para isso, aplicaremos os operadores na ordem indicada sobre o estado quântico.

Passo 4

Primeiro, aplicamos o operador mais à direita, que é o $ Z $:
Z

Passo 5

Em seguida, aplicamos o operador $ X $ sobre o resultado:
X

Passo 6

Agora, aplicamos novamente o operador $ Z $:
Z

Passo 7

Por fim, aplicamos o operador $ X $ mais à esquerda:
X

Resposta

Portanto, mostramos que:
XZXZ(alpha|0rang<= + beta|1rang<=) = -(alpha|0rang<= + beta|1rang<=)

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