Considere as seguintes funções de R em C : f1(x)=1, f2(x)=e^i x, f3(x)=e^-i x, g1(x)=1, g2(x)=cos (x), g3(x)=sen(x).
b) Mostre que cada gi pode ser escrito como combinação linear dos fi. Use para isto as conhecidas relações cos (x)=e^i x+e^-i x2 e sen(x)=e^i x-e^-i x2 i.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrar que cada função pode ser escrita como uma combinação linear das funções . A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente combinações lineares de funções. Para isso, vamos usar as relações trigonométricas que ligam o cosseno e o seno às exponenciais complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Dizemos que uma função g(x) = a f1(x) + b f2(x) + c f3(x) é uma combinação linear das funções se existir coeficientes tais que:
No nosso caso, queremos expressar cada dessa forma usando as funções e .

Passo 3

Vamos começar com 1 = a cdot 1 + b cdot e^i x + c cdot e^-i x . Queremos encontrar coeficientes 1 = 1 cdot 1 + 0 cdot e^i x + 0 cdot e^-i x tais que:
Observando que e são funções com partes imaginárias e reais, e queremos apenas a parte real igual a 1. Isso sugere que e devem ser zero, e :
Portanto, já está escrita como uma combinação linear das .

Passo 4

Agora, vamos para cos(x) = e^i x + e^-i x2 . Sabemos que:
cos(x) = a cdot 1 + b cdot e^i x + c cdot e^-i x
Comparando com a combinação linear:
cos(x) = 0 cdot 1 + 12 e^i x + 12 e^-i x
Aqui, podemos ver que , e :
Então, é uma combinação linear das .

Passo 5

Por último, vamos considerar (seno). Sabemos que:
Comparando com a combinação linear:
Aqui, sen(x) = e^i x - e^-i x2i , sen(x) = a cdot 1 + b cdot e^i x + c cdot e^-i x e sen(x) = 0 cdot 1 + 12i e^i x - 12i e^-i x :
Portanto, também é uma combinação linear das .

Resposta

Mostramos que cada g1(x) &= 1 = 1 cdot f1(x) + 0 cdot f2(x) + 0 cdot f3(x) g2(x) &= cos(x) = 12 f2(x) + 12 f3(x) g3(x) &= sen(x) = 12i f2(x) - 12i f3(x) pode ser escrito como uma combinação linear das funções usando as relações trigonométricas fornecidas. Especificamente:
Assim, cada é uma combinação linear dos .

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