Considere as seguintes funções de
em
:
,
.
b) Mostre que cada
pode ser escrito como combinação linear dos
. Use para isto as conhecidas relações
e
.
b) Mostre que cada
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para mostrar que cada função
pode ser escrita como uma combinação linear das funções
. A matéria envolvida aqui é Álgebra Linear, especificamente combinações lineares de funções. Para isso, vamos usar as relações trigonométricas que ligam o cosseno e o seno às exponenciais complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma combinação linear. Dizemos que uma função
é uma combinação linear das funções
se existir coeficientes
tais que:
No nosso caso, queremos expressar cada
dessa forma usando as funções
e
.
Passo 3
Vamos começar com
. Queremos encontrar coeficientes
tais que:
Observando que
e
são funções com partes imaginárias e reais, e queremos apenas a parte real igual a 1. Isso sugere que
e
devem ser zero, e
:
Portanto,
já está escrita como uma combinação linear das
.
Passo 4
Agora, vamos para
. Sabemos que:
Comparando com a combinação linear:
Aqui, podemos ver que
,
e
:
Então,
é uma combinação linear das
.
Passo 5
Por último, vamos considerar (seno). Sabemos que:
Comparando com a combinação linear:
Aqui,
,
e
:
Portanto,
também é uma combinação linear das
.
Resposta
Mostramos que cada
pode ser escrito como uma combinação linear das funções
usando as relações trigonométricas fornecidas. Especificamente:
Assim, cada
é uma combinação linear dos
.