Considere as seguintes funções de
em
:
,
.
a) Demonstre que
e
são conjuntos L.I de vetores.
a) Demonstre que
Passo 1
Vamos primeiro entender qual é a questão. A gente tem duas coleções de funções:
- A primeira coleção é
. - A segunda coleção é
.
A tarefa é mostrar que cada uma dessas coleções é um conjunto linearmente independente (L.I.). Isso faz parte do estudo de Álgebra Linear, onde verificamos se nenhuma função pode ser escrita como combinação linear das outras.
Passo 2
Vamos começar com a primeira coleção
. Para provar que essas funções são linearmente independentes, precisamos mostrar que a única solução para a combinação linear
é
.
Passo 3
Substituindo as funções, temos:
Isso precisa ser válido para todo
.
Passo 4
Para resolver isso, vamos usar a identidade de Euler, que relaciona funções exponenciais com funções trigonométricas:
Passo 5
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Passo 6
Para essa equação ser igual a zero para todo
, cada coeficiente deve ser zero:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
- Da segunda equação:
- Da terceira equação:
Portanto,
. Já sabia que
.
Passo 8
Como a única solução é
, concluímos que
é um conjunto linearmente independente.
Passo 9
Agora, vamos analisar a segunda coleção
. Para provar que essas funções são linearmente independentes, fazemos uma combinação linear igual a zero:
Passo 10
Substituindo as funções:
Isso precisa ser válido para todo
.
Passo 11
Sabemos que as funções
e
são ortogonais e não podem ser expressas como combinações lineares umas das outras. Além disso, a constante
também não pode ser obtida a partir de
ou
.
Passo 12
Portanto, para a equação ser válida para todo
, devemos ter:
Passo 13
Assim, a única solução possível é
, o que mostra que
é um conjunto linearmente independente.
Resposta
Ambas as coleções
e
são conjuntos linearmente independentes de vetores.