Considere as seguintes funções de R em C : f1(x)=1, f2(x)=e^i x, f3(x)=e^-i x, g1(x)=1, g2(x)=cos (x), g3(x)=sen(x).
a) Demonstre que f1, f2, f3 e g1, g2, g3 são conjuntos L.I de vetores.

Passo 1

Vamos primeiro entender qual é a questão. A gente tem duas coleções de funções:
  • A primeira coleção é f1(x)=1, f2(x)=e^i x, f3(x)=e^-i x.
  • A segunda coleção é g1(x)=1, g2(x)=cos(x), g3(x)=sen(x).
A tarefa é mostrar que cada uma dessas coleções é um conjunto linearmente independente (L.I.). Isso faz parte do estudo de Álgebra Linear, onde verificamos se nenhuma função pode ser escrita como combinação linear das outras.

Passo 2

Vamos começar com a primeira coleção f1, f2, f3. Para provar que essas funções são linearmente independentes, precisamos mostrar que a única solução para a combinação linear
a1f1(x) + a2f2(x) + a3f3(x) = 0
é a1 = a2 = a3 = 0.

Passo 3

Substituindo as funções, temos:
a1 cdot 1 + a2 e^i x + a3 e^-i x = 0
Isso precisa ser válido para todo x in R.

Passo 4

Para resolver isso, vamos usar a identidade de Euler, que relaciona funções exponenciais com funções trigonométricas:
e^i x = cos(x) + i sin(x)
e^-i x = cos(x) - i sin(x)

Passo 5

Substituindo na equação original:
a1 + a2 (cos(x) + i sin(x)) + a3 (cos(x) - i sin(x)) = 0
Simplificando:
a1 + (a2 + a3) cos(x) + i (a2 - a3) sin(x) = 0

Passo 6

Para essa equação ser igual a zero para todo x, cada coeficiente deve ser zero:
  1. a1 = 0
  2. a2 + a3 = 0
  3. a2 - a3 = 0

Passo 7

Resolvendo o sistema:
  • Da segunda equação: a2 = -a3
  • Da terceira equação: a2 = a3
Portanto, a2 = a3 = 0. Já sabia que a1 = 0.

Passo 8

Como a única solução é a1 = a2 = a3 = 0, concluímos que f1, f2, f3 é um conjunto linearmente independente.

Passo 9

Agora, vamos analisar a segunda coleção g1, g2, g3. Para provar que essas funções são linearmente independentes, fazemos uma combinação linear igual a zero:
b1g1(x) + b2g2(x) + b3g3(x) = 0

Passo 10

Substituindo as funções:
b1 cdot 1 + b2 cos(x) + b3 sen(x) = 0
Isso precisa ser válido para todo x in R.

Passo 11

Sabemos que as funções cos(x) e sin(x) são ortogonais e não podem ser expressas como combinações lineares umas das outras. Além disso, a constante 1 também não pode ser obtida a partir de cos(x) ou sin(x).

Passo 12

Portanto, para a equação ser válida para todo x, devemos ter:
  1. b1 = 0
  2. b2 = 0
  3. b3 = 0

Passo 13

Assim, a única solução possível é b1 = b2 = b3 = 0, o que mostra que g1, g2, g3 é um conjunto linearmente independente.

Resposta

Ambas as coleções f1, f2, f3 e g1, g2, g3 são conjuntos linearmente independentes de vetores.

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