Escalone, classifique e resolva os sistemast lineares abaixo:
a)
b) lx+y-z=2 2 x+3 y+2 z=5
c) lx+y+z=3 2 x+3 y+z=0
Passo 1
Beleza, vamos resolver esses sistemas lineares que você enviou. A gente vai usar o método de escalonamento, que basicamente ajuda a organizar as equações para encontrar os valores de , e . Para cada sistema, vamos escalonar as equações, verificar se elas têm solução única, infinitas soluções ou nenhuma, e por fim resolver o sistema.
Passo 2
Vamos começar com o sistema a):
2x + 3y + z = 1 3x - 3y + z = 8 2y + z = 0
Primeiro, observamos que temos três equações e três incógnitas, então provavelmente teremos uma solução única. Vamos escalonar o sistema para facilitar a resolução.
Passo 3
Escrevemos o sistema na forma matricial aumentada:
Vamos usar a primeira equação para eliminar o 2x + 3y + z = 1 0x - 92y + -12z = 132 0x + 2y + z = 0 das outras equações. Multiplicamos a primeira equação por e subtraímos da segunda:
Passo 5
Agora, temos:
2x + 3y + z = 1 - 92y - 12z = 132 2y + z = 0
Vamos simplificar a segunda equação multiplicando todos os termos por 2:
-9y - z = 13
E a terceira equação já está simplificada.
Passo 6
Agora, temos:
2x + 3y + z = 1 -9y - z = 13 2y + z = 0
Vamos somar a segunda e terceira equações para eliminar -9y - z + 2y + z = 13 + 0 Rightarrow -7y = 13 Rightarrow y = -137 :
Passo 7
Com 2(-137) + z = 0 Rightarrow -267 + z = 0 Rightarrow z = 267 , substituímos na terceira equação para encontrar :
Passo 8
Agora, com 2x + 3(-137) + 267 = 1 Rightarrow 2x - 397 + 267 = 1 e 2x - 137 = 1 Rightarrow 2x = 1 + 137 = 207 Rightarrow x = 107 encontrados, substituímos esses valores na primeira equação para encontrar :
Simplificando:
Passo 9
Agora, vamos resolver o sistema b):
x + y - z = 2 2x + 3y + 2z = 5
Aqui temos duas equações com três incógnitas. Precisamos verificar se o sistema tem soluções ou não.
Passo 10
Podemos expressar uma das variáveis em termos das outras. Por exemplo, da primeira equação, podemos isolar x = 2 - y + z :
Passo 11
Substituímos esse valor de 2(2 - y + z) + 3y + 2z = 5 Rightarrow 4 - 2y + 2z + 3y + 2z = 5 na segunda equação:
y + 4z + 4 = 5 Rightarrow y + 4z = 1
Simplificando:
Passo 12
Agora, temos:
x = 2 - y + z y + 4z = 1
Podemos expressar y = 1 - 4z em termos de :
Passo 13
Substituímos x = 2 - (1 - 4z) + z = 2 -1 + 4z + z = 1 + 5z na expressão de :
Passo 14
Então, a solução do sistema depende do valor de . Isso significa que temos infinitas soluções, onde pode ser qualquer número real, e e são determinados por .
Passo 15
Por fim, vamos resolver o sistema c):
x + y + z = 3 2x + 3y + z = 0
São duas equações com três incógnitas. Vamos verificar se existem soluções.
Passo 16
Vamos tentar eliminar uma variável. Por exemplo, subtraímos a primeira equação da segunda para eliminar (2x + 3y + z) - (x + y + z) = 0 - 3 Rightarrow x + 2y = -3 :
Passo 17
Agora, temos:
x + y + z = 3 x + 2y = -3
Podemos expressar x = -3 - 2y da segunda equação:
Passo 18
Substituímos (-3 - 2y) + y + z = 3 Rightarrow -3 - y + z = 3 na primeira equação:
-z + y = -6 Rightarrow z = y + 6
Simplificando:
Passo 19
Então, temos:
x = -3 - 2y z = y + 6
Isso significa que pode ser qualquer número real, e e são determinados por .
Resposta
O sistema c) tem infinitas soluções dadas por:
x = -3 - 2y, y é qualquer número real, z = y + 6 éú