a) Determinar as matrizes de mudança de base de
para
, e de
para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar as matrizes de mudança de base de
para
, chamada
, e de
para
, chamada
. Estamos lidando com o conteúdo de transformações lineares e mudança de base em Álgebra Linear. Para isso, vamos precisar entender como representar vetores de uma base na outra e como formar essas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são lineares e que conseguem representar qualquer vetor desse espaço através de combinações lineares. Quando temos duas bases diferentes,
e
, queremos saber como transformar as coordenadas de um vetor de uma base para a outra.
Passo 3
A matriz de mudança de base de
para
,
, é construída colocando as coordenadas dos vetores de
expressos na base
como colunas dessa matriz. Ou seja, se
e cada
é escrito como uma combinação linear dos vetores de
, então essas combinações formam as colunas de
.
Passo 4
Da mesma forma, para encontrar a matriz de mudança de base de
para
,
, fazemos o inverso: expressamos os vetores de
na base
e colocamos essas coordenadas como colunas de
.
Passo 5
Depois de construir
, para encontrar
, podemos simplesmente calcular a inversa de
, já que as matrizes de mudança de base são inversas entre si. Ou seja:
Resposta
As matrizes de mudança de base são: