a) Determinar as matrizes de mudança de base de B para C, IC B, e de C para B, IB C.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos encontrar as matrizes de mudança de base de para , chamada , e de para , chamada . Estamos lidando com o conteúdo de transformações lineares e mudança de base em Álgebra Linear. Para isso, vamos precisar entender como representar vetores de uma base na outra e como formar essas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são lineares e que conseguem representar qualquer vetor desse espaço através de combinações lineares. Quando temos duas bases diferentes, e , queremos saber como transformar as coordenadas de um vetor de uma base para a outra.

Passo 3

A matriz de mudança de base de para , , é construída colocando as coordenadas dos vetores de expressos na base como colunas dessa matriz. Ou seja, se e cada é escrito como uma combinação linear dos vetores de , então essas combinações formam as colunas de .

Passo 4

Da mesma forma, para encontrar a matriz de mudança de base de para , , fazemos o inverso: expressamos os vetores de na base e colocamos essas coordenadas como colunas de .

Passo 5

Depois de construir IB C = (IC B)^-1 , para encontrar , podemos simplesmente calcular a inversa de , já que as matrizes de mudança de base são inversas entre si. Ou seja:

Resposta

As matrizes de mudança de base são:
IC B = Matriz com as coordenadas de C na base B
IB C = (IC B)^-1

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