Resolver, pela regra de Cramer, o sistema linear de equações simultâneas:
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações usando a Regra de Cramer, que faz parte da álgebra linear. Para isso, precisamos montar a matriz dos coeficientes, calcular seu determinante e, em seguida, substituir as colunas correspondentes para encontrar os valores das variáveis
,
,
e
.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a matriz dos coeficientes do sistema:
Passo 3
Calculamos o determinante da matriz
det(A) = 1 cdot det 2 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 - 1 cdot det 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 + 1 cdot det 1 & 2 & 1 0 & -1 & 0 -1 & 0 & 1 - (-1) cdot det 1 & 2 & 0 0 & -1 & 1 -1 & 0 & 0 , denotado por
det 2 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = 2(1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 0(-1 cdot 1 - 0 cdot 0) + 1(-1 cdot 0 - 1 cdot 0) = 2 . Esse determinante será usado para encontrar as soluções das variáveis.
Para uma matriz 4x4, usamos a expansão por cofatores:
Calculando cada determinante menor:
- Para o primeiro menor:
- Para o segundo menor:
- Para o terceiro menor:
- Para o quarto menor:
Substituindo de volta na expansão:
Passo 4
Agora, vamos calcular
Ax = 1 & 1 & 1 & -1 -1 & 2 & 0 & 1 2 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 , onde substituímos a coluna de
det(Ax) = 1 cdot det 2 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 - 1 cdot det -1 & 0 & 1 2 & 1 & 0 0 & 0 & 1 + 1 cdot det -1 & 2 & 1 2 & -1 & 0 0 & 0 & 1 - (-1) cdot det -1 & 2 & 0 2 & -1 & 1 0 & 0 & 0 pelos termos constantes do sistema:
Calculamos
det -1 & 0 & 1 2 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = -1(1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 0(2 cdot 1 - 0 cdot 0) + 1(2 cdot 0 - 1 cdot 0) = -1 usando a expansão por cofatores:
Calculando cada determinante menor:
- Primeiro menor:
- Segundo menor:
- Terceiro menor:
- Quarto menor:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, calculamos
Ay = 1 & 1 & 1 & -1 1 & -1 & 0 & 1 0 & 2 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 & 1 , substituindo a coluna de
det(Ay) = 1 cdot det -1 & 0 & 1 2 & 1 & 0 0 & 0 & 1 - 1 cdot det 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 + 1 cdot det 1 & -1 & 1 0 & 2 & 0 -1 & 0 & 1 - (-1) cdot det 1 & -1 & 0 0 & 2 & 1 -1 & 0 & 0 pelos termos constantes:
Usamos a expansão por cofatores para calcular
det 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 = 1(1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 0(0 cdot 1 - (-1) cdot 0) + 1(0 cdot 0 - 1 cdot (-1)) = 1 + 1 = 2 :
Calculando cada determinante menor:
- Primeiro menor:
- Segundo menor:
- Terceiro menor:
- Quarto menor:
Substituindo de volta:
Passo 6
Em seguida, calculamos
Az = 1 & 1 & 1 & -1 1 & 2 & -1 & 1 0 & -1 & 2 & 0 -1 & 0 & 0 & 1 , substituindo a coluna de
det(Az) = 1 cdot det 2 & -1 & 1 -1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 - 1 cdot det 1 & -1 & 1 0 & 2 & 0 -1 & 0 & 1 + 1 cdot det 1 & 2 & 1 0 & -1 & 0 -1 & 0 & 1 - (-1) cdot det 1 & 2 & -1 0 & -1 & 2 -1 & 0 & 0 pelos termos constantes:
Usamos a expansão por cofatores para calcular
det 1 & -1 & 1 0 & 2 & 0 -1 & 0 & 1 = 1(2 cdot 1 - 0 cdot 0) - (-1)(0 cdot 1 - (-1) cdot 0) + 1(0 cdot 0 - 2 cdot (-1)) = 2 + 0 + 2 = 4 :
Calculando cada determinante menor:
- Primeiro menor:
- Segundo menor:
- Terceiro menor:
- Quarto menor:
Substituindo de volta:
Passo 7
Por fim, calculamos
Aw = 1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 0 & -1 0 & -1 & 1 & 2 -1 & 0 & 0 & 0 , substituindo a coluna de
det(Aw) = 1 cdot det 2 & 0 & -1 -1 & 1 & 2 0 & 0 & 0 - 1 cdot det 1 & 0 & -1 0 & 1 & 2 -1 & 0 & 0 + 1 cdot det 1 & 2 & -1 0 & -1 & 2 -1 & 0 & 0 - 1 cdot det 1 & 2 & 0 0 & -1 & 1 -1 & 0 & 0 pelos termos constantes:
Usamos a expansão por cofatores para calcular
det 1 & 0 & -1 0 & 1 & 2 -1 & 0 & 0 = 1(1 cdot 0 - 2 cdot 0) - 0(0 cdot 0 - (-1) cdot 2) + (-1)(0 cdot 0 - 1 cdot (-1)) = 0 - 0 + 1 = 1 :
Calculando cada determinante menor:
- Primeiro menor:
- Segundo menor:
- Terceiro menor:
- Quarto menor:
Substituindo de volta:
Passo 8
Agora, aplicando a Regra de Cramer, as soluções são:
Resposta
A solução do sistema é: