Resolver, pela regra de Cramer, o sistema linear de equações simultâneas:
cl x+y+z-w & =1 x+2 y+w & =-1 -y+z & =2 -x+w & =0

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações usando a Regra de Cramer, que faz parte da álgebra linear. Para isso, precisamos montar a matriz dos coeficientes, calcular seu determinante e, em seguida, substituir as colunas correspondentes para encontrar os valores das variáveis , , e .

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 1 & 1 & 1 & -1 1 & 2 & 0 & 1 0 & -1 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 & 1

Passo 3

Calculamos o determinante da matriz det(A) = 1 cdot det 2 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 - 1 cdot det 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 + 1 cdot det 1 & 2 & 1 0 & -1 & 0 -1 & 0 & 1 - (-1) cdot det 1 & 2 & 0 0 & -1 & 1 -1 & 0 & 0 , denotado por det 2 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = 2(1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 0(-1 cdot 1 - 0 cdot 0) + 1(-1 cdot 0 - 1 cdot 0) = 2 . Esse determinante será usado para encontrar as soluções das variáveis.
Para uma matriz 4x4, usamos a expansão por cofatores:
det 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 = 1(1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 0(0 cdot 1 - (-1) cdot 0) + 1(0 cdot 0 - 1 cdot (-1)) = 1 + 1 = 2
Calculando cada determinante menor:
  1. Para o primeiro menor:
det 1 & 2 & 1 0 & -1 & 0 -1 & 0 & 1 = 1(-1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 2(0 cdot 1 - (-1) cdot 0) + 1(0 cdot 0 - (-1) cdot (-1)) = -1 - 0 - 1 = -2
  1. Para o segundo menor:
det 1 & 2 & 0 0 & -1 & 1 -1 & 0 & 0 = 1(-1 cdot 0 - 1 cdot 1) - 2(0 cdot 0 - (-1) cdot 1) + 0(0 cdot 0 - (-1) cdot (-1)) = -1 + 2 + 0 = 1
  1. Para o terceiro menor:
det(A) = 1 cdot 2 - 1 cdot 2 + 1 cdot (-2) - (-1) cdot 1 = 2 - 2 - 2 + 1 = -1
  1. Para o quarto menor:
Substituindo de volta na expansão:

Passo 4

Agora, vamos calcular Ax = 1 & 1 & 1 & -1 -1 & 2 & 0 & 1 2 & -1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 1 , onde substituímos a coluna de det(Ax) = 1 cdot det 2 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 - 1 cdot det -1 & 0 & 1 2 & 1 & 0 0 & 0 & 1 + 1 cdot det -1 & 2 & 1 2 & -1 & 0 0 & 0 & 1 - (-1) cdot det -1 & 2 & 0 2 & -1 & 1 0 & 0 & 0 pelos termos constantes do sistema:
det 2 & 0 & 1 -1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = 2(1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 0(-1 cdot 1 - 0 cdot 0) + 1(-1 cdot 0 - 1 cdot 0) = 2
Calculamos det -1 & 0 & 1 2 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = -1(1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 0(2 cdot 1 - 0 cdot 0) + 1(2 cdot 0 - 1 cdot 0) = -1 usando a expansão por cofatores:
det -1 & 2 & 1 2 & -1 & 0 0 & 0 & 1 = -1(-1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 2(2 cdot 1 - 0 cdot 0) + 1(2 cdot 0 - (-1) cdot 0) = 1 - 4 + 0 = -3
Calculando cada determinante menor:
  1. Primeiro menor:
det -1 & 2 & 0 2 & -1 & 1 0 & 0 & 0 = 0 (determinante com linha de zeros é zero)
  1. Segundo menor:
det(Ax) = 1 cdot 2 - 1 cdot (-1) + 1 cdot (-3) - (-1) cdot 0 = 2 + 1 - 3 + 0 = 0
  1. Terceiro menor:
  1. Quarto menor:
é
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, calculamos Ay = 1 & 1 & 1 & -1 1 & -1 & 0 & 1 0 & 2 & 1 & 0 -1 & 0 & 0 & 1 , substituindo a coluna de det(Ay) = 1 cdot det -1 & 0 & 1 2 & 1 & 0 0 & 0 & 1 - 1 cdot det 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 + 1 cdot det 1 & -1 & 1 0 & 2 & 0 -1 & 0 & 1 - (-1) cdot det 1 & -1 & 0 0 & 2 & 1 -1 & 0 & 0 pelos termos constantes:
det -1 & 0 & 1 2 & 1 & 0 0 & 0 & 1 = -1(1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 0(2 cdot 1 - 0 cdot 0) + 1(2 cdot 0 - 1 cdot 0) = -1
Usamos a expansão por cofatores para calcular det 1 & 0 & 1 0 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 = 1(1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 0(0 cdot 1 - (-1) cdot 0) + 1(0 cdot 0 - 1 cdot (-1)) = 1 + 1 = 2 :
det 1 & -1 & 1 0 & 2 & 0 -1 & 0 & 1 = 1(2 cdot 1 - 0 cdot 0) - (-1)(0 cdot 1 - (-1) cdot 0) + 1(0 cdot 0 - 2 cdot (-1)) = 2 + 0 + 2 = 4
Calculando cada determinante menor:
  1. Primeiro menor:
det 1 & -1 & 0 0 & 2 & 1 -1 & 0 & 0 = 1(2 cdot 0 - 1 cdot 0) - (-1)(0 cdot 0 - (-1) cdot 1) + 0(0 cdot 0 - 2 cdot (-1)) = 0 + 1 + 0 = 1
  1. Segundo menor:
det(Ay) = 1 cdot (-1) - 1 cdot 2 + 1 cdot 4 - (-1) cdot 1 = -1 - 2 + 4 + 1 = 2
  1. Terceiro menor:
  1. Quarto menor:
Substituindo de volta:

Passo 6

Em seguida, calculamos Az = 1 & 1 & 1 & -1 1 & 2 & -1 & 1 0 & -1 & 2 & 0 -1 & 0 & 0 & 1 , substituindo a coluna de det(Az) = 1 cdot det 2 & -1 & 1 -1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 - 1 cdot det 1 & -1 & 1 0 & 2 & 0 -1 & 0 & 1 + 1 cdot det 1 & 2 & 1 0 & -1 & 0 -1 & 0 & 1 - (-1) cdot det 1 & 2 & -1 0 & -1 & 2 -1 & 0 & 0 pelos termos constantes:
det 2 & -1 & 1 -1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 = 2(2 cdot 1 - 0 cdot 0) - (-1)(-1 cdot 1 - 0 cdot 0) + 1(-1 cdot 0 - 2 cdot 0) = 4 - 1 + 0 = 3
Usamos a expansão por cofatores para calcular det 1 & -1 & 1 0 & 2 & 0 -1 & 0 & 1 = 1(2 cdot 1 - 0 cdot 0) - (-1)(0 cdot 1 - (-1) cdot 0) + 1(0 cdot 0 - 2 cdot (-1)) = 2 + 0 + 2 = 4 :
det 1 & 2 & 1 0 & -1 & 0 -1 & 0 & 1 = 1(-1 cdot 1 - 0 cdot 0) - 2(0 cdot 1 - (-1) cdot 0) + 1(0 cdot 0 - (-1) cdot (-1)) = -1 - 0 - 1 = -2
Calculando cada determinante menor:
  1. Primeiro menor:
det 1 & 2 & -1 0 & -1 & 2 -1 & 0 & 0 = 1(-1 cdot 0 - 2 cdot 0) - 2(0 cdot 0 - (-1) cdot (-1)) + (-1)(0 cdot 0 - (-1) cdot (-1)) = 0 - 2(0 - 1) + (-1)(0 - 1) = 0 + 2 + 1 = 3
  1. Segundo menor:
det(Az) = 1 cdot 3 - 1 cdot 4 + 1 cdot (-2) - (-1) cdot 3 = 3 - 4 - 2 + 3 = 0
  1. Terceiro menor:
  1. Quarto menor:
Substituindo de volta:

Passo 7

Por fim, calculamos Aw = 1 & 1 & 1 & 1 1 & 2 & 0 & -1 0 & -1 & 1 & 2 -1 & 0 & 0 & 0 , substituindo a coluna de det(Aw) = 1 cdot det 2 & 0 & -1 -1 & 1 & 2 0 & 0 & 0 - 1 cdot det 1 & 0 & -1 0 & 1 & 2 -1 & 0 & 0 + 1 cdot det 1 & 2 & -1 0 & -1 & 2 -1 & 0 & 0 - 1 cdot det 1 & 2 & 0 0 & -1 & 1 -1 & 0 & 0 pelos termos constantes:
det 2 & 0 & -1 -1 & 1 & 2 0 & 0 & 0 = 0 (determinante de matriz com linha de zeros é zero)
Usamos a expansão por cofatores para calcular det 1 & 0 & -1 0 & 1 & 2 -1 & 0 & 0 = 1(1 cdot 0 - 2 cdot 0) - 0(0 cdot 0 - (-1) cdot 2) + (-1)(0 cdot 0 - 1 cdot (-1)) = 0 - 0 + 1 = 1 :
det 1 & 2 & -1 0 & -1 & 2 -1 & 0 & 0 = 1(-1 cdot 0 - 2 cdot 0) - 2(0 cdot 0 - (-1) cdot 2) + (-1)(0 cdot 0 - (-1) cdot (-1)) = 0 - 2(0 + 2) + (-1)(0 - 1) = 0 - 4 + 1 = -3
Calculando cada determinante menor:
  1. Primeiro menor:
det 1 & 2 & 0 0 & -1 & 1 -1 & 0 & 0 = 1(-1 cdot 0 - 1 cdot 0) - 2(0 cdot 0 - (-1) cdot 1) + 0(0 cdot 0 - (-1) cdot (-1)) = 0 - 2(0 + 1) + 0 = -2 é
  1. Segundo menor:
det(Aw) = 1 cdot 0 - 1 cdot 1 + 1 cdot (-3) - 1 cdot (-2) = 0 - 1 - 3 + 2 = -2
  1. Terceiro menor:
  1. Quarto menor:
Substituindo de volta:

Passo 8

Agora, aplicando a Regra de Cramer, as soluções são:
x = det(Ax)det(A) = 0-1 = 0
y = det(Ay)det(A) = 2-1 = -2
z = det(Az)det(A) = 0-1 = 0
w = det(Aw)det(A) = -2-1 = 2

Resposta

A solução do sistema é:
x = 0, y = -2, z = 0, w = 2

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