As superficies interior e exterior da esfera oca são mantidas à temperatura T1 e T2, respetivamente. Os raios interno e externo são r 1 e r 2, respetivamente. A condutividade térmica k do material da esfera é constante.
(ii) Desenvolva uma expressão para o caudal térmico radial através da esfera oca.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma esfera oca com duas superfícies: a interna está na temperatura $ T_1 $ e a externa está na temperatura $ T_2 $. Os raios interno e externo são $ r_1 $ e $ r_2 $, respectivamente. O material da esfera tem uma condutividade térmica constante $ k $. Nosso objetivo aqui é encontrar uma expressão para o caudal térmico radial, ou seja, a quantidade de calor que passa através da esfera por unidade de tempo.
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Fourier da condução de calor, que nos ajuda a entender como o calor se move através de um material. Como estamos lidando com uma esfera, precisamos considerar a condução de calor em coordenadas esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei de Fourier para condução de calor em regime estacionário (onde as temperaturas não mudam com o tempo):
q = -k nabla T
Aqui, $ \vec{q} $ é o vetor densidade de fluxo de calor, $ k $ é a condutividade térmica e $ \nabla T $ é o gradiente de temperatura.
Como estamos lidando com uma esfera, o fluxo de calor será radial. Em coordenadas esféricas, o gradiente de temperatura apenas na direção radial $ r $ é:
q
Então, a densidade de fluxo de calor radial fica:
k

Passo 3

Agora, para encontrar a quantidade total de calor que passa pela esfera por unidade de tempo (o caudal térmico $ Q $), precisamos considerar a área através da qual o calor está passando. Para uma esfera com raio $ r $, a área superficial é:
Q
Então, o caudal térmico é o produto da densidade de fluxo de calor pela área:
r

Passo 4

Como estamos em regime estacionário, o caudal térmico $ Q $ é constante em qualquer ponto da esfera. Assim, podemos igualar as expressões para dois raios diferentes, digamos $ r_1 $ e $ r_2 $:
Q
Isso nos leva a resolver a equação diferencial para a temperatura $ T® $ na esfera.

Passo 5

Integrando a equação diferencial, obtemos a distribuição de temperatura na esfera:
T(r) = -Q4pi k cdot 1r + C
Onde $ C $ é a constante de integração. Aplicando as condições de contorno $ T(r_1) = T_1 $ e $ T(r_2) = T_2 $, podemos resolver para $ C $ e encontrar $ Q $.

Passo 6

Finalmente, após resolver as condições de contorno, encontramos a expressão para o caudal térmico radial:
Q = 4pi k (T1 - T2)1r1 - 1r2

Resposta

O caudal térmico radial através da esfera oca é dado por
Q = 4pi k (T1 - T2)1r1 - 1r2

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