Considere os seguintes sistemas de equações lineares:
b) cx1+x2+2 x3=-1 2 x1-x2+2 x3=-4, 4 x1+x2+4 x3=-2
ii.) Resolva cada sistema de equações usando a regra de Cramer (caso seja possível).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações lineares com três incógnitas:
x1 + x2 + 2x3 = -1 2x1 - x2 + 2x3 = -4 4x1 + x2 + 4x3 = -2
Vamos resolver esse sistema usando a Regra de Cramer, que é uma técnica para resolver sistemas de equações lineares usando determinantes. Para isso, precisamos saber o conteúdo de matrizes e determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes do sistema. Essa matriz é formada pelos números que acompanham as incógnitas nas equações:
A = 1 & 1 & 2 2 & -1 & 2 4 & 1 & 4

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 1 cdot (-1 cdot 4 - 2 cdot 1) - 1 cdot (2 cdot 4 - 2 cdot 4) + 2 cdot (2 cdot 1 - (-1) cdot 4) . O determinante é um número que nos ajuda a entender se o sistema tem solução única. Se o determinante for diferente de zero, a solução existe e é única.
Vamos calcular det(A) = 1 cdot (-4 - 2) - 1 cdot (8 - 8) + 2 cdot (2 + 4) = 1 cdot (-6) - 1 cdot 0 + 2 cdot 6 = -6 + 0 + 12 = 6 :
Simplificando:
Como , o sistema tem solução única.

Passo 4

Para aplicar a Regra de Cramer, vamos criar matrizes substituindo cada coluna de Ax1 = -1 & 1 & 2 -4 & -1 & 2 -2 & 1 & 4 pelo vetor dos termos constantes do sistema, ou seja, , e .
Primeiro, para encontrar , substituímos a primeira coluna de pelos termos constantes:

Passo 5

Calculamos o determinante de det(Ax1) = -1 cdot (-1 cdot 4 - 2 cdot 1) - 1 cdot (-4 cdot 4 - 2 cdot (-2)) + 2 cdot (-4 cdot 1 - (-1) cdot (-2)) :
det(Ax1) = -1 cdot (-4 - 2) - 1 cdot (-16 + 4) + 2 cdot (-4 - 2) = -1 cdot (-6) - 1 cdot (-12) + 2 cdot (-6) = 6 + 12 - 12 = 6
Simplificando:

Passo 6

Agora, encontramos x1 = det(Ax1)det(A) = 66 = 1 usando a Regra de Cramer:

Passo 7

Em seguida, para encontrar Ax2 = 1 & -1 & 2 2 & -4 & 2 4 & -2 & 4 , substituímos a segunda coluna de pelos termos constantes:

Passo 8

Calculamos o determinante de det(Ax2) = 1 cdot (-4 cdot 4 - 2 cdot (-2)) - (-1) cdot (2 cdot 4 - 2 cdot 4) + 2 cdot (2 cdot (-2) - (-4) cdot 4) :
det(Ax2) = 1 cdot (-16 + 4) - (-1) cdot (8 - 8) + 2 cdot (-4 + 16) = 1 cdot (-12) - (-1) cdot 0 + 2 cdot 12 = -12 + 0 + 24 = 12
Simplificando:

Passo 9

Agora, encontramos x2 = det(Ax2)det(A) = 126 = 2 :

Passo 10

Por fim, para encontrar Ax3 = 1 & 1 & -1 2 & -1 & -4 4 & 1 & -2 , substituímos a terceira coluna de pelos termos constantes:

Passo 11

Calculamos o determinante de det(Ax3) = 1 cdot (-1 cdot (-2) - (-4) cdot 1) - 1 cdot (2 cdot (-2) - (-4) cdot 4) + (-1) cdot (2 cdot 1 - (-1) cdot 4) :
det(Ax3) = 1 cdot (2 + 4) - 1 cdot (-4 + 16) + (-1) cdot (2 + 4) = 1 cdot 6 - 1 cdot 12 + (-1) cdot 6 = 6 - 12 - 6 = -12
Simplificando:

Passo 12

Agora, encontramos x3 = det(Ax3)det(A) = -126 = -2 :

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 1, x2 = 2, x3 = -2

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