Considere os seguintes sistemas de equações lineares:
d) lx1+x2+x3+ x4=0 x1-2 x2+3 x3+4 x4=0 x1+3 x2+6 x3+10 x4=0 x1+4 x2+10 x3+20 x4=0
i.) Resolva cada sistema de equações usando o método de Gauss.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares com quatro equações e quatro incógnitas ( x1, x2, x3, x4). O nosso objetivo é resolver esse sistema usando o Método de Gauss, que é uma técnica para simplificar o sistema e encontrar os valores das incógnitas. Para isso, vamos transformar as equações em uma matriz aumentada e aplicar operações de linha para chegar à solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita a aplicação do Método de Gauss. A matriz aumentada fica assim:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 1 & -2 & 3 & 4 & | & 0 1 & 3 & 6 & 10 & | & 0 1 & 4 & 10 & 20 & | & 0

Passo 3

Agora, vamos começar a eliminar as entradas abaixo do primeiro elemento da primeira coluna (que é 1). Para isso, subtraímos a primeira linha das demais.
  • Linha 2: Linha2 - Linha1
  • Linha 3: Linha3 - Linha1
  • Linha 4: Linha4 - Linha1
Após essas operações, a matriz fica:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & -3 & 2 & 3 & | & 0 0 & 2 & 5 & 9 & | & 0 0 & 3 & 9 & 19 & | & 0

Passo 4

Vamos agora focar na segunda coluna. O próximo pivô é -3 (segundo elemento da segunda linha). Queremos transformar os elementos abaixo desse pivô em zero. Para isso:
  • Linha 3: (Linha3 * 3) + (Linha2 * 2)
  • Linha 4: (Linha4 * 3) + (Linha2 * 3)
Após essas operações, a matriz fica:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & -3 & 2 & 3 & | & 0 0 & 0 & 11 & 15 & | & 0 0 & 0 & 15 & 28 & | & 0

Passo 5

Agora, vamos para a terceira coluna. O pivô é 11 (terceiro elemento da terceira linha). Vamos eliminar o número abaixo dele (15 na quarta linha). Para isso:
  • Linha 4: Linha4 - (15/11) * Linha3
Após essa operação, a matriz fica:
1 & 1 & 1 & 1 & | & 0 0 & -3 & 2 & 3 & | & 0 0 & 0 & 11 & 15 & | & 0 0 & 0 & 0 & 1311 & | & 0

Passo 6

Agora que a matriz está em forma escalonada, podemos resolver as equações de baixo para cima.
A última linha nos dá:
1311 x4 = 0 Rightarrow x4 = 0

Passo 7

Substituindo x4 = 0 na terceira linha:
11x3 + 15x4 = 0 Rightarrow 11x3 = 0 Rightarrow x3 = 0

Passo 8

Substituindo x3 = 0 e x4 = 0 na segunda linha:
-3x2 + 2x3 + 3x4 = 0 Rightarrow -3x2 = 0 Rightarrow x2 = 0

Passo 9

Finalmente, substituindo x2 = 0, x3 = 0 e x4 = 0 na primeira linha:
x1 + x2 + x3 + x4 = 0 Rightarrow x1 = 0

Resposta

Todas as incógnitas são iguais a zero:
x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0

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