Considere os seguintes subespaços vetoriais
e
de
:
e
.
Determine:
a)
e sua dimensão.
Determine:
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para determinar
e a sua dimensão, onde
e
são subespaços de
. Para isso, vamos precisar entender conceitos de soma de subespaços e dimensão de espaços vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a soma de dois subespaços. A soma
é o conjunto de todos os vetores que podem ser formados somando um vetor de
com um vetor de
. Matemáticamente, isso é:
Passo 3
Vamos identificar os vetores em
e
.
- Para
, temos , o que significa que . Assim, podemos expressar qualquer vetor de como:
- Para
, temos . Então, qualquer vetor de é:
onde
e
são números reais.
Passo 4
Agora, vamos somar um vetor genérico de
com um vetor genérico de
:
Passo 5
Queremos expressar
de forma mais clara. Observando a soma acima, vemos que podemos reescrever os componentes assim:
- O primeiro componente é
, onde e são quaisquer números reais. - O segundo componente é
, que também pode ser qualquer número real, já que e são livres. - O terceiro componente é
, que também é livre.
Isso significa que
inclui todos os vetores de
, já que cada componente pode assumir qualquer valor real.
Passo 6
Concluímos então que:
Para encontrar a dimensão de
, sabemos que a dimensão de
é 3.