Considere os seguintes subespaços vetoriais U e V de R^3 :
U=(x, y, z) in R^3 mid x+y=0 e V=(x, y, z) in R^3 mid z=0.
Determine:
a) U+V e sua dimensão.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para determinar e a sua dimensão, onde e são subespaços de . Para isso, vamos precisar entender conceitos de soma de subespaços e dimensão de espaços vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a soma de dois subespaços. A soma U + V = u + v mid u in U, v in V é o conjunto de todos os vetores que podem ser formados somando um vetor de com um vetor de . Matemáticamente, isso é:

Passo 3

Vamos identificar os vetores em u = (x, -x, z) e v = (a, b, 0) .
  • Para , temos , o que significa que . Assim, podemos expressar qualquer vetor de como:
  • Para , temos . Então, qualquer vetor de é:
onde e são números reais.

Passo 4

Agora, vamos somar um vetor genérico de u + v = (x + a, -x + b, z + 0) = (x + a, b - x, z) com um vetor genérico de :

Passo 5

Queremos expressar de forma mais clara. Observando a soma acima, vemos que podemos reescrever os componentes assim:
  • O primeiro componente é , onde e são quaisquer números reais.
  • O segundo componente é , que também pode ser qualquer número real, já que e são livres.
  • O terceiro componente é , que também é livre.
Isso significa que inclui todos os vetores de , já que cada componente pode assumir qualquer valor real.

Passo 6

Concluímos então que:
U + V = R^3
Para encontrar a dimensão de , sabemos que a dimensão de é 3.

Resposta

e sua dimensão é 3.

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