Exemplo 12 Sejam p(x)=x^2-9 e q(x)=2 x+3 Se T: R^2 R^2 é dada por T(x, y)=(-x+4 y, 2 x+y) determine p(T) e q(T).

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem duas funções polinomiais, e . Além disso, foi dada uma transformação linear definida por . Nosso objetivo aqui é descobrir o que são e .
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre polinômios aplicados a transformações lineares. Precisamos entender como aplicar uma função polinomial a uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa aplicar um polinômio a uma transformação linear. Se temos um polinômio p(T) = T^2 - 9I e uma transformação linear , então significa substituir por na expressão do polinômio. Ou seja:
Aqui, é a matriz identidade, que age como o “1” nas operações de matrizes (ou transformações lineares).

Passo 3

Agora, vamos calcular T(x, y) = (-x + 4y, 2x + y) . Isso significa aplicar a transformação T(T(x, y)) = T(-x + 4y, 2x + y) duas vezes seguidas. Para encontrar -(-x + 4y) + 4(2x + y) = x - 4y + 8x + 4y = 9x , primeiro aplicamos 2(-x + 4y) + (2x + y) = -2x + 8y + 2x + y = 9y uma vez:
T^2(x, y) = (9x, 9y) = 9(x, y)
Agora, aplicamos novamente ao resultado:
Vamos calcular cada componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Portanto,

Passo 4

Agora que temos p(T) = T^2 - 9I = 9I - 9I = 0 , podemos substituir de volta na expressão de :
Ou seja, é a transformação nula, que envia qualquer vetor para o zero.

Passo 5

Vamos agora calcular q(T) = 2T + 3I . O polinômio dado é , então:
Isso significa que vamos multiplicar a transformação por 2 e somar 3 vezes a identidade.

Passo 6

Primeiro, multiplicamos 2T(x, y) = 2(-x + 4y, 2x + y) = (-2x + 8y, 4x + 2y) por 2:
2T(x, y) + 3I(x, y) = (-2x + 8y + 3x, 4x + 2y + 3y) = (x + 8y, 4x + 5y)
Em seguida, adicionamos q(T)(x, y) = (x + 8y, 4x + 5y) :
Portanto,

Resposta

p(T) = 0 e q(T)(x, y) = (x + 8y, 4x + 5y)

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