Exemplo 12 Sejam
e
Se
é dada por
determine
e
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente tem duas funções polinomiais,
e
. Além disso, foi dada uma transformação linear
definida por
. Nosso objetivo aqui é descobrir o que são
e
.
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, especificamente sobre polinômios aplicados a transformações lineares. Precisamos entender como aplicar uma função polinomial a uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa aplicar um polinômio a uma transformação linear. Se temos um polinômio
e uma transformação linear
, então
significa substituir
por
na expressão do polinômio. Ou seja:
Aqui,
é a matriz identidade, que age como o “1” nas operações de matrizes (ou transformações lineares).
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Isso significa aplicar a transformação
duas vezes seguidas. Para encontrar
, primeiro aplicamos
uma vez:
Agora, aplicamos
novamente ao resultado:
Vamos calcular cada componente:
Primeira componente:
Segunda componente:
Portanto,
Passo 4
Agora que temos
, podemos substituir de volta na expressão de
:
Ou seja,
é a transformação nula, que envia qualquer vetor para o zero.
Passo 5
Vamos agora calcular
. O polinômio dado é
, então:
Isso significa que vamos multiplicar a transformação
por 2 e somar 3 vezes a identidade.
Passo 6
Primeiro, multiplicamos
por 2:
Em seguida, adicionamos
:
Portanto,