Seja T: R^3 R^3 definido como
T(x, y, z)=(a x+b y+b z, b x+a y+b z, b x+b y+a z)
Determine os autovalores e autovetores de T. Além disso, especifique uma matriz P tal que P^-1 A P, onde A é a matriz de T relativa a base canônica do R^3.

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear T(x, y, z) = (a x + b y + b z, b x + a y + b z, b x + b y + a z) definida por:
Além disso, também precisa especificar uma matriz tal que , onde é a matriz de na base canônica de .
Vamos usar conceitos de algebras lineares, especificamente sobre autovalores (ou valores próprios) e autovetores de matrizes, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear A = a & b & b b & a & b b & b & a como uma matriz na base canônica. Cada coluna de corresponde à imagem dos vetores base pela transformação .
Então, temos:

Passo 3

Agora, para encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica:
A - lambda I = a - lambda & b & b b & a - lambda & b b & b & a - lambda
Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade .
Vamos calcular :

Passo 4

Calculando o determinante de det(A - lambda I) = a - lambda & b & b b & a - lambda & b b & b & a - lambda :
Para facilitar, vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Porém, nesse caso, há uma maneira mais simples usando simetria.
Sabemos que a soma de cada linha é , sugerindo que pode ser um autovalor. Vamos verificar isso e encontrar os outros autovalores.

Passo 5

Depois de calcular o determinante, descobrimos que os autovalores são:
lambda1 = a + 2b
lambda2 = a - b
lambda3 = a - b
Então, temos um autovalor distinto e um autovalor repetido .

Passo 6

Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para -2b & b & b b & -2b & b b & b & -2b v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos v1 = 1 1 1 :

[
b & b & b b & b & b b & b & b v1 v2 v3 = 0 0 0
v2 = 1 -1 0 , v3 = 1 0 -1


]
Resolvendo, obtemos que os componentes do autovetor são iguais. Então, um autovetor é:
Para :
Resolvemos :

[


]
Neste caso, os autovetores satisfazem . Portanto, podemos escolher dois vetores independentes, por exemplo:

Passo 7

Agora, precisamos especificar a matriz P = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0 1 & 0 & -1 tal que seja uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal.
A matriz é composta pelos autovetores de como colunas:
Essa matriz é invertível se os autovetores forem linearmente independentes, o que é o caso aqui.

Resposta

Os autovalores de v1 = 1 1 1 , v2 = 1 -1 0 , v3 = 1 0 -1 são P = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0 1 & 0 & -1 e .
Os autovetores correspondentes são:
A matriz que diagonaliza é:

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