Determine os autovalores e autovetores de . Além disso, especifique uma matriz tal que , onde é a matriz de relativa a base canônica do .
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear definida por:
Além disso, também precisa especificar uma matriz tal que , onde é a matriz de na base canônica de .
Vamos usar conceitos de algebras lineares, especificamente sobre autovalores (ou valores próprios) e autovetores de matrizes, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz na base canônica. Cada coluna de corresponde à imagem dos vetores base pela transformação .
Então, temos:
Passo 3
Agora, para encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 , precisamos resolver a equação característica:
A - lambda I = a - lambda & b & b b & a - lambda & b b & b & a - lambda
Aqui, representa os autovalores e é a matriz identidade .
Vamos calcular :
Passo 4
Calculando o determinante de det(A - lambda I) = a - lambda & b & b b & a - lambda & b b & b & a - lambda :
Para facilitar, vamos usar a regra de Sarrus ou a expansão de cofatores. Porém, nesse caso, há uma maneira mais simples usando simetria.
Sabemos que a soma de cada linha é , sugerindo que pode ser um autovalor. Vamos verificar isso e encontrar os outros autovalores.
Passo 5
Depois de calcular o determinante, descobrimos que os autovalores são:
lambda1 = a + 2b
lambda2 = a - b
lambda3 = a - b
Então, temos um autovalor distinto e um autovalor repetido .
Passo 6
Agora, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para -2b & b & b b & -2b & b b & b & -2b v1 v2 v3 = 0 0 0 :
Resolvemos v1 = 1 1 1 :
[ b & b & b b & b & b b & b & b v1 v2 v3 = 0 0 0 v2 = 1 -1 0 , v3 = 1 0 -1
]
Resolvendo, obtemos que os componentes do autovetor são iguais. Então, um autovetor é:
Para :
Resolvemos :
[
]
Neste caso, os autovetores satisfazem . Portanto, podemos escolher dois vetores independentes, por exemplo:
Passo 7
Agora, precisamos especificar a matriz P = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0 1 & 0 & -1 tal que seja uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal.
A matriz é composta pelos autovetores de como colunas:
Essa matriz é invertível se os autovetores forem linearmente independentes, o que é o caso aqui.
Resposta
Os autovalores de v1 = 1 1 1 , v2 = 1 -1 0 , v3 = 1 0 -1 são P = 1 & 1 & 1 1 & -1 & 0 1 & 0 & -1 e .