Teorema 19 Seja T: V V um operador linear definido sobre um espaço vetorial real de dimensão finita, com polinômio característico
pT(x)=(x-lambda1)^alpha1(x-lambda2)^alpha2 ldots(x-lambdar)^alphar
(lambdai neq lambdaj se i neq j). Então T é diagonalizável se e somente se,
mT(x)=(x-lambda1)(x-lambda2) ldots(x-lambdar)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que tá acontecendo aqui. A gente tem um operador linear num espaço vetorial real de dimensão finita. O exercício fala sobre o polinômio característico de e quer saber quando é diagonalizável. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de polinômio característico, polinômio mínimo e diagonalização de operadores lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio característico. Para um operador linear pT(x) = det(xI - T) , o polinômio característico pT(x) = (x - lambda1)^alpha1 (x - lambda2)^alpha2 ldots (x - lambdar)^alphar é dado por:
Onde é a matriz identidade. Esse polinômio nos dá informações sobre os autovalores de , que são as raízes de .
No nosso caso, o polinômio característico é:
Aqui, cada é um autovalor distinto de , e é a sua multiplicidade algébrica.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o polinômio mínimo mT(x) = (x - lambda1)^beta1 (x - lambda2)^beta2 ldots (x - lambdar)^betar . Esse polinômio é o menor polinômio monico tal que . Ele também pode ser fatorado em termos dos autovalores:
Onde é a multiplicidade geométrica de cada , ou seja, a dimensão do espaço próprio associado a .

Passo 4

O objetivo é mostrar que mT(x) = (x - lambda1)(x - lambda2) ldots (x - lambdar) é diagonalizável se, e somente se, o polinômio mínimo for igual a:
Isso significa que cada , ou seja, cada autovalor tem multiplicidade geométrica 1.

Passo 5

Se é diagonalizável, então tem que ser esse polinômio produto simples.
Quando é diagonalizável, existe uma base de composta por vetores próprios de . Isso implica que para cada autovalor , a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica . Se tivesse algum expoente maior que 1, isso significaria que alguma multiplicidade geométrica seria menor que a algébrica, o que impossibilitaria a diagonalização.

Passo 6

Se o polinômio mínimo é igual a esse produto simples, então é diagonalizável.
Por outro lado, se é igual a , isso significa que cada . Ou seja, a multiplicidade geométrica de cada é igual a 1, que coincide com a multiplicidade algébrica . Isso garante que existem vetores próprios linearmente independentes (onde é a dimensão de ), permitindo que seja diagonalizável.

Resposta

Assim, demonstramos que o operador linear é diagonalizável se, e somente se, o seu polinômio mínimo for .

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