Teorema 19 Seja
um operador linear definido sobre um espaço vetorial real de dimensão finita, com polinômio característico
se
. Então
é diagonalizável se e somente se,
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que tá acontecendo aqui. A gente tem um operador linear
num espaço vetorial real de dimensão finita. O exercício fala sobre o polinômio característico de
e quer saber quando
é diagonalizável. Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de polinômio característico, polinômio mínimo e diagonalização de operadores lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um polinômio característico. Para um operador linear
, o polinômio característico
é dado por:
Onde
é a matriz identidade. Esse polinômio nos dá informações sobre os autovalores de
, que são as raízes de
.
No nosso caso, o polinômio característico é:
Aqui, cada
é um autovalor distinto de
, e
é a sua multiplicidade algébrica.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o polinômio mínimo
. Esse polinômio é o menor polinômio monico tal que
. Ele também pode ser fatorado em termos dos autovalores:
Onde
é a multiplicidade geométrica de cada
, ou seja, a dimensão do espaço próprio associado a
.
Passo 4
O objetivo é mostrar que
é diagonalizável se, e somente se, o polinômio mínimo
for igual a:
Isso significa que cada
, ou seja, cada autovalor tem multiplicidade geométrica 1.
Passo 5
Se
é diagonalizável, então
tem que ser esse polinômio produto simples.
Quando
é diagonalizável, existe uma base de
composta por vetores próprios de
. Isso implica que para cada autovalor
, a multiplicidade geométrica é igual à multiplicidade algébrica
. Se
tivesse algum expoente maior que 1, isso significaria que alguma multiplicidade geométrica seria menor que a algébrica, o que impossibilitaria a diagonalização.
Passo 6
Se o polinômio mínimo
é igual a esse produto simples, então
é diagonalizável.
Por outro lado, se
é igual a
, isso significa que cada
. Ou seja, a multiplicidade geométrica de cada
é igual a 1, que coincide com a multiplicidade algébrica
. Isso garante que existem
vetores próprios linearmente independentes (onde
é a dimensão de
), permitindo que
seja diagonalizável.
Resposta
Assim, demonstramos que o operador linear
é diagonalizável se, e somente se, o seu polinômio mínimo for
.