Considere os seguintes subespaços W de R^3 :
(a) W=(a, b, c) in R^3 mid a+b+c=0,
(b) W=(a, b, c) in R^3 mid a=b=c.
Encontre uma base e a dimensão de cada um dos subespaços W.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos dois subespaços de e precisamos encontrar uma base e a dimensão de cada um deles. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares e vetores independentes. Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 2

Parte (a):
Primeiro, vamos entender o que significa essa condição . Ela nos diz que qualquer vetor nesse subespaço tem componentes que somam zero.

Passo 3

Para encontrar uma base, vamos expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos resolver para c = -a - b :
(a, b, -a - b) = a(1, 0, -1) + b(0, 1, -1)
Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como:

Passo 4

Os vetores e são linearmente independentes e geram todo o subespaço . Portanto, eles formam uma base para .

Passo 5

A dimensão de um subespaço é igual ao número de vetores na sua base. Como encontramos 2 vetores, a dimensão de é 2.

Passo 6

Parte (b):
Aqui, a condição nos diz que todas as componentes do vetor são iguais.

Passo 7

Podemos expressar qualquer vetor nesse subespaço como:
(a, a, a) = a(1, 1, 1)

Passo 8

O vetor gera todo o subespaço e não há outros vetores necessários, já que qualquer múltiplo desse vetor ainda satisfaz . Portanto, é uma base para .

Passo 9

A dimensão de é 1, já que apenas um vetor está na base.

Resposta

(a) Uma base para é e sua dimensão é 2.
(b) Uma base para é e sua dimensão é 1.

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