Considere os seguintes subespaços de :
(a) ,
(b) .
Encontre uma base e a dimensão de cada um dos subespaços .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois subespaços de e precisamos encontrar uma base e a dimensão de cada um deles. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares e vetores independentes. Vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 2
Parte (a):
Primeiro, vamos entender o que significa essa condição . Ela nos diz que qualquer vetor nesse subespaço tem componentes que somam zero.
Passo 3
Para encontrar uma base, vamos expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos resolver para :
Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como:
Passo 4
Os vetores e são linearmente independentes e geram todo o subespaço . Portanto, eles formam uma base para .
Passo 5
A dimensão de um subespaço é igual ao número de vetores na sua base. Como encontramos 2 vetores, a dimensão de é 2.
Passo 6
Parte (b):
Aqui, a condição nos diz que todas as componentes do vetor são iguais.
Passo 7
Podemos expressar qualquer vetor nesse subespaço como:
Passo 8
O vetor gera todo o subespaço e não há outros vetores necessários, já que qualquer múltiplo desse vetor ainda satisfaz . Portanto, é uma base para .
Passo 9
A dimensão de é 1, já que apenas um vetor está na base.