Considere os seguintes subespaços
de
:
(a)
,
(b)
.
Encontre uma base e a dimensão de cada um dos subespaços
.
(a)
(b)
Encontre uma base e a dimensão de cada um dos subespaços
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos dois subespaços
de
e precisamos encontrar uma base e a dimensão de cada um deles. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como sistemas lineares e vetores independentes. Vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 2
Parte (a):
Primeiro, vamos entender o que significa essa condição
. Ela nos diz que qualquer vetor nesse subespaço tem componentes que somam zero.
Passo 3
Para encontrar uma base, vamos expressar uma das variáveis em função das outras. Vamos resolver para
:
Isso significa que qualquer vetor
em
pode ser escrito como:
Passo 4
Os vetores
e
são linearmente independentes e geram todo o subespaço
. Portanto, eles formam uma base para
.
Passo 5
A dimensão de um subespaço é igual ao número de vetores na sua base. Como encontramos 2 vetores, a dimensão de
é 2.
Passo 6
Parte (b):
Aqui, a condição
nos diz que todas as componentes do vetor são iguais.
Passo 7
Podemos expressar qualquer vetor nesse subespaço como:
Passo 8
O vetor
gera todo o subespaço
e não há outros vetores necessários, já que qualquer múltiplo desse vetor ainda satisfaz
. Portanto,
é uma base para
.
Passo 9
A dimensão de
é 1, já que apenas um vetor está na base.
Resposta
(a) Uma base para
é
e sua dimensão é 2.
(b) Uma base para
é
e sua dimensão é 1.